104.  La Quadrature du Cercle, à Gizeh et Au-delà

Des nombres à la géométrie

Dans la tradition grecque, et notamment dans le Timée, la géométrie occupe une place intermédiaire entre l'intelligible et le visible. Platon décrit le cosmos lui-même comme ordonné par le nombre et la forme, le monde visible étant structuré selon des modèles intelligibles qui ne peuvent être perçus directement. Il distingue entre le modèle éternel, qui n'existe pas dans le temps, et le cosmos créé, qui advient avec le temps.

Dans ce cadre, la géométrie peut être appréhendée de deux manières : l’une, fidèle à sa forme idéale, abstraite et hors du temps ; l’autre, ancrée dans le monde et le temps, finie et perceptible. Cette idée de finitude, d’appartenance au temps, est ici centrale. Certains rapports ou quantités, tels que √2, √3, φ et π, ne peuvent être pleinement exprimés dans aucun système numérique fini. Dans notre monde fini, dans le temps, ils résistent à toute complétion ; ils s’étendent indéfiniment. En ce sens, on pourrait les interpréter comme appartenant à l’infini, hors du temps, et, si l’on adhère aux idées de Platon, au modèle utilisé par le Créateur. Pourtant, les constructions géométriques auxquelles ils appartiennent – ​​le carré, le triangle équilatéral, le cercle, par exemple – peuvent être construites dans ce monde fini, quoique de manière nécessairement approximative. Réfléchir au rapport entre le côté d'un carré et sa diagonale, ou entre le diamètre d'un cercle et son rayon, nous rapproche de ce monde au-delà du temps, car ces rapports, qui ne peuvent être qu'approximatifs dans ce monde, pourraient s'appliquer à un autre.

À Gizeh, nous pouvons interpréter les dimensions du plateau et des pyramides comme des expressions numériques de cycles astronomiques. Les longueurs correspondent à des périodes ; les distances deviennent des durées ; le pouce lui-même fonctionne comme une unité intermédiaire entre l'espace et le temps. Le Grand Rectangle de Gizeh, en particulier, est interprété dans cette étude comme un cadre numérique au sein duquel les cycles planétaires, les périodes lunaires et les longues durées telles que la précession des équinoxes peuvent être mis en relation.

Cependant, la signification de ce système dépasse la simple notion de nombre. La géométrie introduit la transformation. Une longueur devient un périmètre ; un périmètre engendre un cercle ; un cercle devient un carré ; une diagonale produit une nouvelle figure ; une aire prolonge un cycle en une surface ; une hauteur devient un rayon. À chaque étape, la quantité sous-jacente est préservée tandis que sa forme change. Le nombre reste constant, mais son expression géométrique se renouvelle sans cesse. C’est cette succession de transformations qui confère au système son caractère générateur. Le Grand Rectangle de Gizeh engendre les pyramides ; les pyramides introduisent de nouvelles relations géométriques ; ces relations, à leur tour, deviennent le fondement de nouvelles constructions. La géométrie n’est donc pas simplement descriptive, mais productive : elle crée un réseau de formes équivalentes à travers lequel une réalité se traduit en une autre.

Conçue sous cet angle, la géométrie n’est pas un simple exercice intellectuel. Elle offre une manière de penser simultanément la permanence et le changement. Les mêmes relations mathématiques persistent tout en prenant continuellement de nouvelles formes, qu’il s’agisse de ligne, de carré, de cercle, de pyramide, de la Terre ou du cycle astronomique. Ce qui change, ce n’est pas l’ordre sous-jacent, mais la manière dont cet ordre s’incarne. La géométrie devient un langage de transformation, capable d’exprimer l’unité dans la diversité et la continuité dans le devenir.

L’existence humaine se déploie précisément de cette façon. Nos corps changent, les générations se succèdent, les paysages sont cultivés et transformés, des royaumes naissent et disparaissent, tandis que les cieux poursuivent leurs cycles au-dessus de nos têtes. L’architecture sacrée antique n’avait donc peut-être pas pour seule vocation de représenter le cosmos, mais d’y participer. En transposant les mêmes relations numériques entre l'architecture, l'astronomie et la Terre elle-même, des monuments tels que Gizeh suggèrent que le changement n'implique pas nécessairement le désordre. La transformation devient le moyen même par lequel se révèle un ordre durable. En ce sens, la géométrie n'est ni une mathématique abstraite ni un simple symbolisme. Elle est une manière de contempler la relation entre le temps et l'éternité, entre le monde visible et les structures invisibles qui lui confèrent sa cohérence.

La géométrie explorée ici représente donc peut-être plus qu'une simple ingéniosité mathématique. Elle offre une façon de concilier permanence et changement. Héraclite a observé, comme chacun sait, que nul ne se baigne deux fois dans le même fleuve, car le fleuve et l'homme sont en perpétuelle transformation. Pourtant, le changement lui-même présuppose la continuité. Le fleuve demeure reconnaissable malgré le mouvement perpétuel de ses eaux. La géométrie remplit une fonction analogue. Les relations numériques restent invariantes tandis que leurs manifestations se transforment sans cesse. Une longueur devient un périmètre ; un périmètre devient un cercle ; un cercle devient un carré ; un carré devient une pyramide ; l'architecture devient astronomie ; la mesure spatiale devient temps. L'identité se préserve non pas en résistant à la transformation, mais grâce à elle.

On peut lire les éléments du plateau de Gizeh comme une suite d'opérations, sous-tendues par des constantes géométriques, qui se situent au seuil entre le mesurable et l'immesurable. Pourtant, cette tension ne se limite pas aux quantités irrationnelles telles que √2, √3, ϕ ou π ; elle réside au cœur même de la géométrie. Euclide commence les Éléments par la définition d'une simplicité trompeuse du point comme « ce qui n'a pas de partie », suivie de celle de la ligne comme « longueur sans largeur ». Ces définitions soulèvent un problème profond.Un point géométrique possède une position mais pas d'extension : il n'a ni longueur, ni largeur, ni profondeur, et ne peut être subdivisé en éléments plus petits. Aucun point physique ne peut donc lui correspondre parfaitement. Lorsqu'un point est dessiné sur du papier, sur du papyrus, aussi petit soit-il, il possède une extension dans le monde. Il n'est donc pas simple d'expliquer comment une ligne pourrait être composée de tels points : aussi nombreux que soient les éléments sans longueur assemblés, ils n'acquièrent pas simplement de longueur par accumulation. Ces questions ont suscité des débats dans l'Antiquité et se sont poursuivies dans la philosophie médiévale, abordant la nature de la continuité, de la divisibilité et la relation entre les objets mathématiques et le monde physique. Le point géométrique est parfaitement intelligible mais physiquement irréalisable ; la marque physique est parfaitement réelle mais géométriquement imparfaite.

La géométrie nous confronte donc, depuis ses objets les plus élémentaires, à des entités qui peuvent être conçues exactement mais jamais parfaitement incarnées. Le point existe avec une précision absolue dans la pensée, dans la définition et dans la construction, mais, s'il doit être indivisible, jamais tout à fait comme objet matériel ; il en va de même pour la ligne, le cercle ou le carré parfaits. Il y a la figure que l'on peut dessiner, mesurer ou construire, et il y a la figure exacte selon laquelle elle est conçue. Cette distinction rappelle la séparation platonicienne entre les choses sensibles et leurs structures intelligibles, mais elle ne dépend pas uniquement de Platon : elle découle de la pratique et des fondements mêmes de la géométrie. Travailler avec √2, √3, ϕ ou π intensifie cette même tension. Ces quantités peuvent être définies et construites avec exactitude, tout en résistant à une expression complète sous forme de mesures numériques finies. Si l'on reprend la formulation de Platon, ce qui est construit participe à une structure sans jamais atteindre la perfection de cette structure.

En ce sens, la géométrie offre une manière de penser la condition humaine elle-même : située dans des limites, et pourtant constamment orientée vers ce qui les dépasse. Nous habitons un monde où il n'existe ni points sans dimension, ni lignes sans largeur, ni cercles parfaits, et pourtant nous pouvons les concevoir, raisonner à partir d'eux et les utiliser pour imposer un ordre intelligible à la matière. Le complexe de Gizeh peut être appréhendé comme un système où le temps astronomique se traduit en forme spatiale par une suite d'opérations géométriques : une rencontre entre des relations idéales et leur incarnation finie dans la pierre. Le yantra illustre une idée récurrente dans ce chapitre : la géométrie peut devenir elle-même un objet de contemplation. Elle ne représente ni montagnes, ni personnes, ni étoiles, mais des relations. Carrés, triangles et cercles deviennent des véhicules permettant d'explorer des vérités abstraites. À cet égard, la géométrie n'est plus seulement descriptive, mais participative, invitant l'observateur à un mouvement intellectuel entre la figure finie qui se présente à son regard et les formes idéales qu'elle représente.

Figure 1. Plaque de méditation yantra en bronze, Inde, 1801-1900, Wikimedia Commons. Les constructions géométriques abstraites, comme le tracé de la diagonale d'un carré, du diamètre d'un cercle ou encore la quadrature du cercle, incarnent des formes idéales et des vérités mathématiques impossibles à réaliser dans le monde physique.

Travailler avec √2, √3, φ ou π, c'est manipuler des quantités constructibles. Or, si l'on reprend l'idée de Platon, qui me semble proche de celles formulées dans l'Égypte antique, il s'agit de construire selon un modèle sans jamais atteindre sa perfection. Quel est le rapport entre l'infini, l'indivisible et le fini, le divisible ? Comment une forme intelligible se matérialise-t-elle ? Une pyramide construite avec des millions de pierres imparfaites peut constituer une pyramide géométriquement exacte qui, à proprement parler, n'existe nulle part dans les pierres elles-mêmes. Son sommet, en tant que point mathématique, est de dimension nulle ; ses arêtes, en tant que lignes mathématiques, sont de largeur nulle ; ses faces, en tant que plans mathématiques, sont d'épaisseur nulle. Rien de tout cela n'existe physiquement dans le monument, et pourtant, sans cela, nous ne pouvons même pas définir la nature géométrique de ce monument. La géométrie établit un lien entre ce qui peut être conçu parfaitement et ce qui ne peut être qu'approximatif.

Pour Platon, le monde idéal des formes est distinct du monde physique et, bien que tout aussi réel, il est plus parfait que le monde de l'expérience. Selon lui, les objets de géométrie pure, tels que les droites, les cercles et les carrés, ne sont qu'approximatifs dans le monde fini de notre existence. Les vérités mathématiques précises et les objets géométriques n'existent que dans un monde séparé, le monde idéal des concepts. Seul l'intellect nous permet d'accéder à cet autre monde.

Plus récemment, le modèle des trois mondes de Roger Penrose est un cadre philosophique et conceptuel qui vise à expliquer la relation entre les mathématiques, l'univers physique et la conscience humaine. Les trois mondes identifiés par Penrose sont le monde physique, qui comprend tout ce qui existe physiquement, y compris la matière et l'énergie, des particules subatomiques aux galaxies ; le monde mental, domaine de la conscience humaine, des pensées, des perceptions et des expériences mentales ; et le monde platonicien, domaine abstrait des formes, des concepts et des vérités mathématiques. Le monde platonicien englobe les nombres, les formes géométriques et toutes les structures mathématiques qui existent indépendamment de la pensée humaine et de l'univers physique, tandis que le monde mental concerne les expériences subjectives, notamment les émotions, la créativité et la conscience de soi. La conscience humaine permet d'accéder au monde platonicien des vérités mathématiques, et les mathématiques fournissent un langage précis pour décrire l'univers physique. Le modèle des trois mondes de Penrose souligne l'interconnexion profonde entre les mathématiques, la réalité physique et la conscience humaine.

De même que l'astronomie antique distingue la structure céleste immuable des mouvements cycliques qui s'y déploient, la géométrie de Gizeh semble distinguer les relations invariantes des transformations par lesquelles elles s'expriment. Ceci suggère que la géométrie et l'astronomie pouvaient être perçues comme des expressions complémentaires d'un même ordre cosmique : l'une révélant la permanence, l'autre le devenir ordonné – bien que, pour Platon, les huit mouvements, les sept planètes et les étoiles de fond soient tous mis en mouvement simultanément par le Démiurge. À l'instar des mouvements ordonnés des astres, la géométrie de Gizeh semble préserver des relations invariantes par une transformation continue. Qu'elle s'exprime par des cycles célestes ou par des constructions géométriques, l'ordre se maintient non par l'immobilité, mais par un déploiement selon des lois intelligibles.

Figure 2. Gaia, musée Zeugma, Wikimedia Commons. Le carré, et l'octogone composé de deux carrés, sont associés à la vie et à la mort. De nombreux baptistères et mausolées utilisent l'octogone comme élément central. Il est possible qu'un carré symbolise ce que la Terre Mère donne et l'autre ce qu'elle reprend. Ici, l'octogone fait le lien entre le carré et le cercle. Sur le plan architectural, il fonctionne comme une forme de transition, ce qui explique peut-être sa présence fréquente dans les baptistères, les mausolées et les édifices religieux. Si le carré représente l'existence terrestre et le cercle le ciel, alors l'octogone devient une géométrie du passage.

Symbolisme du cercle et du carré

La relation entre le cercle et le carré est hautement symbolique. Dans de nombreuses cultures, le cercle est associé au ciel, à l'infini et, bien sûr, au cycle, tandis que le carré représente la terre, le fini et l'ordre.

Les premières traces de cette symbolique du cercle pour le ciel et du carré pour la terre proviennent de cultures diverses, telles que la Chine ancienne, l'Égypte antique, la Mésopotamie, la Grèce, l'Inde et les traditions amérindiennes. Ces symboles reflètent leur conception de la cosmologie et de l'ordre naturel : le cercle représente la nature infinie et divine du ciel, et le carré la nature finie et ordonnée de la terre. Si le cercle représentait l'infini, il est possible que la nature infinie du nombre pi (pi) fût alors connue.

Dans la cosmologie chinoise antique, le principe du ciel rond et de la terre carrée exprime directement cette distinction. Les temples circulaires et les enceintes carrées incarnent une structure cosmologique sous forme architecturale. Des motifs similaires apparaissent dans les mandalas et les yantras en Inde, où cercles et carrés sont combinés pour représenter l'univers. Dans la Chine ancienne, deux concepts s'opposaient : la rondeur céleste et la carrété terrestre. Dans la cosmologie chinoise antique, le concept de « Tian yuan di fang » (天圆地方) se traduit littéralement par « rond céleste, carré terrestre ». Cette idée est présente dans des textes datant au moins de la dynastie Zhou (1046-256 av. J.-C.). Le cercle symbolise le ciel, perçu comme illimité et infini, tandis que le carré représente la terre, considérée comme finie et ordonnée. Cette philosophie a été intégrée à l'architecture traditionnelle. À Pékin, par exemple, on trouve deux temples : le Temple du Ciel et le Temple de la Terre. Le Temple du Ciel est rond, symbolisant le ciel et l'espace, tandis que le Temple de la Terre possède une base carrée et de nombreux murs et autels carrés.

Dans le monde contemporain, le principe du carré et du cercle représentant le terrestre et le divin demeure important, notamment en Chine. Pour les Jeux olympiques de 2008, le Cube d'eau, sur la base d'un carré, et le Stade national de Pékin, sur la base d'un cercle, ont été construits côte à côte.

Figure 3. Cube d'eau – Centre national de natation et Stade national de Pékin (Nid d'oiseau), Chine. Plus de deux mille ans plus tard, ce même vocabulaire symbolique a été consciemment réutilisé pour les Jeux olympiques de Pékin, témoignant de la remarquable persistance de ces idées géométriques.

Figure 4. Le Shri Yantra classique (années 1800), Wikimedia Commons, à gauche ; et la roue de médecine Lakota, un site sacré amérindien et un monument historique national dans le Wyoming, photo du service forestier des États-Unis, Wikimedia Commons, à droite.

Dans les traditions amérindiennes, la roue de médecine utilise le cercle pour représenter les cycles et la continuité, tandis que les quatre points cardinaux introduisent une structure carrée. Ces systèmes symboliques reflètent une intuition partagée : le monde peut être appréhendé par l’interaction des formes circulaires et rectilignes. Bien que séparés par les continents et les cultures, le sri yantra et la roue de médecine emploient une grammaire géométrique remarquablement similaire. Le yantra commence par des carrés, des triangles et des cercles imbriqués qui guident la contemplation vers le centre, tandis que la roue de médecine organise l’espace sacré autour du cercle, du centre et des quatre points cardinaux. Aucun des deux n’est purement décoratif. Tous deux expriment la conviction que la géométrie révèle un ordre sous-jacent au sein de la nature et de l’existence humaine. Ces exemples s’étendent sur différents continents et sur plus de deux millénaires, et pourtant tous utilisent le même vocabulaire géométrique élémentaire : cercle, carré et centre. Quels que soient leurs liens historiques, ils suggèrent que certaines formes géométriques sont devenues à maintes reprises des vecteurs d’expression d’idées cosmologiques.

Le Réceptacle et le Problème de l’Exactitude

La question de l'approximation, souvent perçue aujourd'hui comme une limitation technique, peut être comprise plus fondamentalement comme une condition philosophique. Dans le Timée, Platon distingue trois sortes d'être : l'éternel et l'immuable, l'éphémère et le mortel, et une troisième, plus difficile à appréhender, qu'il décrit comme le réceptacle ou la « nourrice de toutes les générations ».

Cette distinction est cruciale. Les formes elles-mêmes – nombre, proportion, rapport – appartiennent à l’ordre intelligible. Elles sont stables, exactes et immuables. Le monde visible, cependant, n’est pas composé directement de ces formes, mais de leurs apparences au sein d’un milieu dont le caractère est lui-même sans nature fixe. Le réceptacle reçoit, transmet et transforme, mais ne conserve aucune forme de manière parfaitement stable.

La géométrie occupe précisément cette position intermédiaire. Elle n’est ni identique au nombre pur, ni réductible à la forme matérielle. Elle opère dans l’espace où les relations intelligibles entrent en contact avec les conditions du monde visible. Dans ce passage, l’exactitude n’est pas perdue ; elle est traduite. Le problème de l’approximation découle de cette traduction.

Des quantités telles que π, √2, √3 ou √5 ne peuvent être pleinement exprimées par aucune mesure finie. Elles appartiennent, selon les termes de Platon, à l’ordre de ce qui « est toujours le même ». Pourtant, lorsqu'elles sont construites géométriquement ou intégrées à l'architecture, elles doivent apparaître dans le réceptacle : dans la matière, la mesure et l'espace. Elles sont donc nécessairement rendues comme des approximations.

Cela n'en diminue pas la signification. Au contraire, cela définit les conditions de leur apparition. Un cercle tracé dans la pierre n'est pas π, mais il participe à π. Une diagonale tracée dans un carré n'est pas √2 en tant que quantité abstraite, mais elle y donne accès. La relation est préservée, même si son expression est finie.

Platon illustre ce point par l'exemple de l'or :

La substance sous-jacente demeure, tandis que les formes qui lui sont imposées changent. De même, les relations numériques explorées dans cette étude persistent à travers de multiples constructions géométriques, même si leurs expressions spécifiques varient. Les relations décrites tout au long de ce chapitre ne sont donc pas exactes au sens requis par la démonstration mathématique moderne. Elles impliquent de petites divergences, des variations dans les limites de la mesure et l'utilisation de constantes qui ne peuvent être exprimées par des nombres finis. Il ne s'agit pas d'une faiblesse du système, mais d'une conséquence de son fonctionnement au sein du réceptacle. Ce qui importe n'est pas l'équivalence exacte, mais la cohérence : la réapparition constante des mêmes relations à travers différentes constructions. À Gizeh, des valeurs spécifiques réapparaissent par une suite de transformations. Une longueur devient un périmètre ; un périmètre devient un cercle ; une diagonale produit une nouvelle figure ; une hauteur devient un rayon. À chaque étape, la même identité numérique est préservée dans les limites imposées par la réalisation matérielle. L'importance de cette distinction devient évidente lorsque nous nous tournons vers Gizeh. Les relations géométriques explorées dans les sections suivantes ne sont pas proposées comme des identités mathématiques exactes existant indépendamment de la mesure. Elles sont plutôt perçues comme des relations idéales traduites en pierre par le biais nécessaire de l'approximation.

La quadrature du cercle

L'un des thèmes géométriques les plus récurrents, tant à Gizeh que dans l'histoire des mathématiques, est la relation entre le cercle et le carré. Dans les cultures anciennes, la quadrature du cercle était probablement liée à une exploration de la structure de l'univers, de la compréhension humaine et des aspirations spirituelles. La connaissance de l'irrationalité de pi, si elle existait, pouvait signifier qu'un tel exercice visait à unir deux mondes : l'ineffable divin (le cercle) et le monde matériel (le carré), sachant qu'il était impossible, dans le monde matériel, de comprendre véritablement l'aire d'un cercle en termes d'aire d'un carré, de manière appliquée. Pourtant, dans le monde de l'intellect, de la pensée, de la construction de formes parfaites, un cercle, un carré et, par extension, un carré d'aire égale à celle d'un cercle, ne posent aucun problème. En intégrant le symbolisme divin à la mesure pratique, les civilisations anciennes intéressées par l'idée d'un carré et d'un cercle d'aire égale cherchaient non seulement à quantifier les dimensions physiques et temporelles, mais aussi à explorer des vérités philosophiques plus profondes sur la nature de l'existence et du cosmos. Les mathématiques et la géométrie deviennent des outils pour explorer les mystères de la nature et exprimer des intuitions profondes par la mesure.

Le premier personnage connu à avoir tenté de résoudre la quadrature du cercle est Anaxagore, philosophe grec, vers 500 av. J.-C. Platon (vers 428-348 av. J.-C.) et son Académie accordaient une grande importance aux problèmes géométriques, notamment à la quadrature du cercle, ce qui inspira de nombreux autres chercheurs. Traditionnellement, le problème de la quadrature du cercle est défini comme la construction d'un carré d'aire égale à celle d'un cercle donné, en utilisant uniquement un compas et une règle. On considère généralement que cela est impossible, en raison de la nature transcendante de π. Pourtant, cette formulation du problème est quelque peu trompeuse. Que sommes-nous exactement incapables de construire : la transformation du cercle en un carré équivalent, ou le cercle parfait lui-même ? Un compas semble résoudre ce dernier problème sans effort : fixer un point, choisir un rayon et tourner. Mais le cercle tracé au compas n'est pas plus un cercle mathématique qu'un point fait au crayon n'est un point euclidien. Le trait de crayon a une épaisseur ; la pointe du compas a une largeur ; et aucune circonférence physique ne peut être en relation exacte C = 2πr avec son rayon, or c'est avec un rayon que le compas commence à tracer un cercle. Déjà, la tension logique réside dans les parties mobiles du compas, avant même que quoi que ce soit ne soit tracé. Dans le problème de la quadrature du cercle par la règle et le compas, le cercle lui-même constitue déjà le premier obstacle. Bien avant de tenter de le quadraturer, nous sommes passés d'un objet exact existant dans la pensée mathématique à un objet approximatif incarné dans la matière. La fameuse impossibilité de la quadrature du cercle concerne un problème plus spécifique : l'impossibilité de construire la longueur exacte requise à partir d'un cercle idéal donné en un nombre fini d'opérations à la règle et au compas. Mais physiquement, toute construction géométrique présente le même problème plus profond. Il y a nécessairement un certain degré d'approximation dans toute géométrie appliquée. Comme l'a dit Petrie :

L'approximation, en ce sens, n'est pas une erreur, mais une condition de manifestation. Elle est le moyen par lequel des relations, exactes et illimitées par nature, sont ramenées au monde fini.

La géométrie sert d'intermédiaire entre ce qui peut être conçu parfaitement et ce qui ne peut être incarné qu'approximativement. Le cercle et le carré mettent ainsi en scène une tension déjà présente dans le point et la ligne : entre forme idéale et réalisation matérielle, entre l'exact et le mesurable.

Il est donc dangereux de laisser la formulation moderne du problème occulter les questions plus intéressantes qu'il sous-tend. La « quadrature du cercle » est aujourd'hui couramment présentée comme un problème à réponse définitive : un carré exact, d'aire égale à celle d'un cercle donné, ne peut être construit en un nombre fini d'étapes à l'aide d'une simple règle et d'un compas, car π est transcendant. Les tentatives visant à répondre à cette question en proposant des approximations toujours plus précises de π semblent par conséquent avoir tout simplement manqué l'essentiel. Au sens mathématique strict, c'est le cas : l'approximation ne peut résoudre un problème qui exige une construction exacte. Pour autant, la question ne s'arrête pas là. D'un autre point de vue, la formulation moderne risque de passer à côté d'un aspect essentiel. Dès que la géométrie quitte le domaine idéal de la définition mathématique pour se matérialiser sur papier, pierre, planche ou écran, l'approximation commence. Le point acquiert une taille ; la ligne, une largeur ; le cercle parfait devient une trace visible. Un rapport irrationnel ou transcendant ne fait pas obstacle à la visualisation d'une telle figure : une diagonale correspondant à √2, ou une circonférence impliquant π, peuvent être tracées aisément. Ce qui ne peut être représenté physiquement, c'est son développement numérique infini, et aucune construction physique ne peut reproduire un objet géométrique idéal avec une exactitude absolue.

Cela ne rend pas pour autant le problème antique de la quadrature du cercle dénué de sens. Bien au contraire : cela le rend intéressant à plusieurs égards. Sur le plan pratique, établir des relations entre cercles et carrés à l'aide des outils volontairement limités que sont le compas et la règle non graduée constitue un véritable défi géométrique. Les solutions approchées peuvent être mathématiquement inexactes tout en restant ingénieuses et très efficaces en tant que constructions. Au niveau de la géométrie pure, cette relation révèle d'importantes transformations impliquant π, √π et la conversion d'une grandeur en une autre. Symboliquement, la rencontre entre le cercle et le carré revêt une signification potentielle évidente : deux formes fondamentalement différentes, longtemps associées dans de nombreuses traditions au ciel et à la terre, au céleste et au terrestre, à l'infini et au limité, entrent en correspondance. Le problème de la quadrature du cercle doit donc être replacé dans le cadre d'une distinction plus fondamentale entre géométrie pure et géométrie appliquée.

Les grandeurs irrationnelles rendent cette distinction particulièrement frappante. Nous avons tendance aujourd'hui à rencontrer √2 ou π comme des nombres suivis d'une suite infinie de décimales, mais géométriquement, ce sont avant tout des relations. Un carré de côté unitaire a immédiatement √2 comme diagonale ; un triangle équilatéral a √3 comme hauteur ; le cercle incarne la relation exprimée par π. De telles grandeurs peuvent donc être comprises, construites et manipulées géométriquement sans jamais être épuisées numériquement. Leurs développements décimaux sont infinis, mais leurs significations géométriques sont immédiates.

Ceci est particulièrement important lorsqu'on considère la géométrie appliquée antique. Un bâtisseur n'avait pas besoin de connaître √2 à dix décimales pour l'utiliser. Une fois un carré construit, sa diagonale donnait directement sa grandeur : on pouvait la mesurer, la reporter, la doubler, la diviser ou l'utiliser pour générer une autre figure. La longueur physique résultante était nécessairement approximative, comme toute longueur construite, mais la relation exprimée pouvait néanmoins être exacte dans sa conception. La géométrie offre ainsi une remarquable médiation entre le fini et l'infini : une grandeur irrationnelle qui ne peut être complètement écrite comme un nombre fini peut néanmoins être rendue visible comme une ligne finie.

C'est dans cette distinction que le problème antique de la quadrature du cercle devient le plus intéressant. Le problème bien connu ne consiste pas simplement à trouver une valeur numérique suffisamment précise pour π, et l'histoire des tentatives de relier le carré et le cercle ne doit pas être rejetée simplement parce qu'une construction matérielle exacte est impossible. La question plus profonde est celle de la transformation : comment la relation incarnée par une forme idéale peut-elle être traduite en une autre, et comment cette relation peut-elle ensuite être réalisée dans la matière finie ? Que l’égalité soit recherchée par l’aire ou le périmètre, l’exercice met en correspondance le cercle et le carré, deux formes géométriques fondamentalement différentes. Au niveau de la géométrie pure, cela introduit des relations…Impliquant π, π/2 et √π, la quadrature du cercle devient, au niveau de la géométrie appliquée, un problème de construction et d'approximation ; et, au niveau symbolique, elle rassemble des formes qui ont maintes fois acquis des associations cosmologiques avec le ciel et la terre.

Il n'existe pas une seule relation entre le carré et le cercle, mais plusieurs. On peut transformer un cercle en carré en conservant son aire ou son périmètre. Ce sont des opérations mathématiquement distinctes. La première introduit √π ; la seconde, π/2. À Gizeh, cette relation apparaît fréquemment, sans jamais être formulée littéralement ni explicitement. Aucun cercle n'est construit directement dans la pierre. La géométrie circulaire est plutôt sous-entendue par des rapports, des périmètres et des valeurs dérivées. La base de la Grande Pyramide, par exemple, est liée à sa hauteur par π, de sorte que son périmètre correspond étroitement à la circonférence d'un cercle dont le rayon est égal à sa hauteur.

En ce sens, la quadrature du cercle ne doit pas être perçue comme une tâche impossible, mais comme une méthode. C'est une manière d'exprimer des relations entre des domaines autrement incommensurables. Elle permet d'inscrire le temps cyclique dans la forme spatiale et de concrétiser la proportion abstraite en architecture. L'importance de l'approximation en découle directement. L'approximation n'est pas un manque de précision, mais la condition nécessaire de toute géométrie qui cherche à opérer dans le monde. C'est par l'approximation que les relations idéales acquièrent une signification physique.

Ce qui émerge alors n'est pas un système en quête d'exactitude, mais un système organisé autour de la cohérence. Les mêmes relations se retrouvent dans différentes constructions, sous différentes formes et à différentes échelles. Cette cohérence suggère non pas le hasard, mais une intention délibérée – pas nécessairement au sens strict, mais au sens plus large d'une pensée structurée.

Dans ce contexte, la géométrie devient un langage capable de circuler entre les mondes. Elle ne résout pas la tension entre l'idéal et le matériel ; elle l'articule.

La quadrature du cercle reflète le désir humain de comprendre et d'incarner les vérités universelles dans des formes matérielles. Cette interaction invite à une réflexion philosophique sur la nature de la réalité, les limites de la connaissance humaine et l'équilibre entre l'idéal et l'empirique. Elle met en lumière les tensions entre l'infini et le fini, le divin et l'humain. Pourtant, elle semble aussi suggérer que, bien que distincts, ils peuvent coexister l'un dans l'autre, et qu'il existe un intervalle infinitésimal entre l'humain et le divin, un intervalle qui dépasse notre entendement. On peut approcher pi, et cela doit être le cas dans toute géométrie utilisant crayon et papier, en architecture, en ingénierie. Mais en définitive, pi demeure un mystère, une constante impossible à définir ou à comprendre pleinement.

Si l'on admet qu'il est possible de tracer un cercle au compas, alors il est possible de tracer un carré d'aire égale à celle d'un cercle, pourvu que l'on convienne d'emblée que ces constructions seront approximatives. Des mathématiciens éminents, comme Ramanujan, ont réalisé cette approche en utilisant π = 355/113. En employant une valeur rationnelle précise (355/113) pour π, il fournit un cadre clair et précis pour les constructions pratiques, garantissant ainsi la compréhension et la prise en compte des limites de l'approximation. Cette approche contraste avec les approximations implicites souvent utilisées lors du tracé de formes géométriques, où les imprécisions ne sont pas explicitement quantifiées. La méthode de Ramanujan témoigne d'une grande rigueur mathématique en travaillant dans les limites connues de l'approximation et en fournissant une solution très précise à l'intérieur de ces limites.

Si l'on admet qu'il est possible de tracer un cercle parfait dans le monde idéal et immatériel (selon Platon et Penrose), alors la quadrature du cercle est également possible dans ce domaine. Ces deux constructions géométriques idéales existent parfaitement dans le monde des formes. Exiger que π soit exact dans les constructions physiques est intrinsèquement impossible en raison de sa nature irrationnelle et transcendante. Dans le monde matériel, tracer un cercle et résoudre la quadrature du cercle sont deux activités approximatives. Cependant, dans le monde idéal des idées, ou des formes platoniciennes, des constructions exactes sont possibles. Par conséquent, s'il est possible de tracer un cercle parfait dans le monde idéal, il est également possible de résoudre la quadrature du cercle dans ce même monde. Concrètement, accepter la nature approximative des constructions géométriques signifie que résoudre la quadrature du cercle est aussi faisable que de tracer un cercle, les deux étant des représentations approximatives de leurs formes idéales. Comprendre la distinction entre le monde matériel et le monde idéal permet de clarifier pourquoi certaines constructions mathématiques sont considérées comme impossibles en pratique, mais possibles en théorie.

La quadrature du cercle pourrait symboliser un processus de passage entre le monde matériel et cet autre monde, dans lequel des concepts parfaits tels que pi peuvent exister, et par conséquent, où des cercles et des carrés parfaits peuvent exister, et au sein duquel la quadrature du cercle est possible.Il est possible de résoudre un cercle parfait. Le paradoxe réside dans le fait que c'est au sein de ce monde parfait des formes que le lien entre le cercle, représentant ce monde parfait, voire divin, et le carré, représentant le monde matériel, peut se tisser. Si le cercle symbolise le divin, l'infini et la perfection, on peut aussi dire qu'il représente un monde parfait des formes, au sein duquel π existe d'une manière qui échappe à toute compréhension ou mesure par des moyens finis. Le carré, quant à lui, représente le monde matériel, le fini et le mesurable, et peut-être les aspects les plus tangibles de l'existence humaine.

Dans le royaume des formes (que l'on pourrait aussi appeler le royaume divin), la quadrature du cercle est possible car ce royaume contient des concepts et des entités parfaits. Dans ce royaume, π n'est pas seulement un nombre irrationnel, mais un rapport fondamental et exact qui définit parfaitement le cercle. Ainsi, la quadrature du cercle symbolise ici l'unité et l'harmonie des principes divins. Dans le monde matériel, toute tentative de résoudre la quadrature du cercle est par nature approximative, en raison des limitations de la réalité physique et de nos outils. Ceci symbolise l'effort humain pour comprendre et relier le divin au matériel, tout en reconnaissant nos limites.

Le paradoxe réside dans le fait que l'acte de résoudre la quadrature du cercle, pont entre le divin (cercle) et le matériel (carré), est lui-même soumis à la nature du domaine où il s'accomplit. Accompliquée avec exactitude, cette résolution relève du divin, tout en représentant un lien avec le monde matériel. Approximativement, elle reconnaît les limites du monde matériel tout en aspirant au divin. Ce paradoxe symbolise la quête humaine pour comprendre et atteindre le monde des concepts, l'idéal, l'infini, le divin. Bien que nous puissions conceptualiser des vérités et des entités parfaites, notre réalisation physique de ces vérités est toujours approximative. Les efforts humains pour combler cet écart, même s'ils ne sont jamais pleinement couronnés de succès, sont significatifs et symbolisent notre lien avec le divin. Si les concepts de π et du cercle parfait suggèrent l'existence d'un domaine où ces idéaux sont réels et exacts, ce domaine constitue également le fondement du monde matériel, influençant et donnant sens à nos tentatives de comprendre et de reproduire les principes divins. Il serait logique d'utiliser la quadrature du cercle comme base de mesure, et peut-être aussi en musique et en architecture, nous invitant à apprécier la portée symbolique des recherches mathématiques et géométriques comme reflets d'idées philosophiques et métaphysiques plus profondes.

En définitive, au niveau individuel, le carré et le cercle représentent une dimension de la nature humaine ; au niveau social, ils créent un espace où vivre dans un ordre issu des mécanismes de l'univers. Le carré du cercle est le fondement d'un temple cosmique. Comme l'écrit John Michell dans La Cité de l'Apocalypse (City of Revelation):

John Michell appréhendait le problème de la quadrature du cercle dans une perspective philosophique plus large. Plutôt que de le considérer comme une simple impossibilité mathématique, il le voyait comme l'expression symbolique de la rencontre entre deux ordres de réalité fondamentalement différents. Le carré représentait le monde mesurable, rationnel et matériel ; le cercle, l'incommensurable, spirituel et cosmique. L'importance de la quadrature du cercle résidait donc non pas dans l'obtention d'une solution numérique exacte, mais dans la recherche d'une correspondance harmonieuse entre ces deux domaines. Michell décrivait l'union du cercle et du carré comme le fondement d'un « temple cosmique ». Dans cette perspective, la géométrie devient un langage à travers lequel la structure de l'univers s'exprime sous une forme construite. Selon Michell :

Rectangulation du cercle

Si la quadrature du cercle exprime une relation entre aire et forme, une seconde transformation, moins connue, apparaît dans toutes les géométries considérées ici : la rectangulation du cercle. J’entends par là une transformation où une grandeur circulaire est exprimée par un rectangle.

Ce rectangle, délimité par les contours extérieurs des trois pyramides, constitue la structure principale du site. Ses dimensions, mesurées par Petrie, sont de 29 227,2 pouces de largeur et 35 713,2 pouces de longueur. On en déduit le périmètre : 2 × (29 227,2 + 35 713,2) = 129 880,8 pouces. Si l’on considère ce périmètre comme la circonférence d’un cercle, on obtient une nouvelle figure. En divisant cette circonférence par π, on obtient un diamètre d’environ 41 342,3 pouces. Cette valeur correspond approximativement à 1400 × 29,53059 pouces, soit 1400 mois lunaires synodiques. Le cercle n'est pas dessiné, mais il est sous-entendu. La limite rectangulaire devient l'expression linéaire d'un cycle circulaire. L'équivalence est approximative, mais précise dans les limites de la mesure. Plus important encore, elle est cohérente avec le comportement général du système. Le nombre quatorze, moitié de vingt-huit, relie la construction au cadre numérique évoqué précédemment. Le rectangle et le cercle, la géométrie et l'astronomie, sont ainsi mis en relation à l'échelle de l'ensemble du plateau. À l'intérieur de ce cercle formé par le rectangle, les sept planètes, les étoiles d'arrière-plan, le Soleil, la Lune, Vénus et le nombre 8 (80 ans en largeur et 7 + 1 cercles en longueur), présents dans le rectangle, sont mis en relation avec la Lune et le nombre 14 (ou au moins 14 × 100), présents dans le cercle.

Un principe similaire peut être observé dans la Chambre du Roi. Le sol de la chambre est un rectangle (un double carré). Son périmètre, exprimé en mètres, est très proche de 10π, soit un cercle de 10 mètres de diamètre. Ici encore, une figure rectiligne encode une relation circulaire. La chambre ne contient pas de cercle, mais ses dimensions en renferment un. Le cercle est présent implicitement, comme mesure plutôt que comme forme.

À l'intérieur de la Grande Pyramide, un principe similaire s'applique, mais dans ce cas, un cercle devient un carré – nous y reviendrons plus loin dans ce chapitre. Cette répétition à différentes échelles est caractéristique du système. Les transformations ne sont pas isolées. Elles se répètent, reliant différentes parties du site par des procédés géométriques communs. Le rectangle engendre les pyramides ; les pyramides introduisent de nouvelles relations ; et ces relations se reflètent sur le rectangle.

La transformation du cercle en rectangle illustre le fonctionnement du système : prendre une figure donnée et la soumettre à une transformation qui révèle une nouvelle forme tout en préservant une identité numérique sous-jacente. Ainsi, la géométrie devient une méthode de traduction, permettant à une même grandeur de passer d'une expression spatiale à une autre.

L'intérêt réside moins dans la valeur finale que dans la séquence même des transformations. Le principe de la rectitude du cercle ne se limite pas à Gizeh. Un parallèle frappant apparaît dans l'ancienne cité de Khorsabad, en Irak actuel, où la géométrie de l'enceinte révèle une transformation similaire entre mesures circulaires et rectilignes. Les remparts forment un grand rectangle. La diagonale de ce rectangle est particulièrement intéressante. La construction se déroule en trois étapes. On part du rectangle mesuré des remparts. Sa diagonale engendre le diamètre d'un cercle implicite. Ce cercle est ensuite transformé en un carré d'aire égale. Converti en mètres, il s'interprète comme 19 × 28 × 8 /π × √π. Géométriquement, cela correspond à un cercle de circonférence 19 × 28 × 8 × √π mètres. Ce cercle implique à son tour un carré dont les côtés mesurent 19 x 28 x 8 mètres. Un cercle de rayon 1 a une aire de π. Un carré d'aire π a des côtés de √π. Du rectangle émerge un cercle, en relation avec le périmètre et la circonférence. Du cercle émerge un carré, en relation avec l'aire. Les nombres 19, 28 et 8 évoquent trois cycles temporels bien connus : le cycle métonique de 19 ans, le cycle solaire de 28 ans où les dates du calendrier se répètent le même jour de la semaine, et l'octaëteris de 8 ans reliant le temps lunaire et le temps solaire, ainsi que le cycle de 8 ans de Vénus. En réalité, le cycle de 8 ans est également présent dans la largeur du GGR, en pouces, multipliée par 10. Les nombres 28 et 19 sont présents dans la longueur du GGR, mais différemment : cette longueur est proche de 1 000 000 / 28 pouces, et ce nombre contient, approximativement, les cycles des 7 planètes, la précession et le cycle métonique de 19 ans.

Le carré de 19 x 28 x 8 mètres a un périmètre quatre fois supérieur à son côté. Multiplier le cycle métonique de 19 ans par 4 réduit l'erreur de concordance des cycles du soleil et de la lune ; on l'appelle le cycle callipique. Le cycle de 28 x 19 ans est utilisé dans le monde chrétien pour calculer la date de Pâques. Si le carré est interprété en pouces, ses dimensions sont alors de 19 x 28 x 8 x 10 000 / 254 pouces. 19 / 254 correspond au nombre de mois lunaires sidéraux dans une année, soit 0,0748. Ainsi, l’introduction du nombre 254 fait référence au rapport entre la Lune et le Soleil, multiplié par 10 000. Tel est le rôle du mètre à Khorsabad. Là-bas, comme à Gizeh, le cercle n’est pas tracé, mais codé. La diagonale de l’enceinte de la ville devient l’expression linéaire d’une construction circulaire ancrée dans les cycles temporels. Le rectangle ne remplace pas le cercle ; il le porte.

La construction qui suit n’a pas pour seul but d’établir une autre correspondance numérique, mais d’illustrer que cette même séquence de transformations géométriques – rectangle, cercle et carré – se retrouve également hors d’Égypte.

.

La Grande Pyramide : Base carrée, périmètre circulaire

La première et la plus fondamentale relation géométrique à Gizeh apparaît dans la Grande Pyramide elle-même. Au niveau du sol, le monument est défini par un carré. Ses quatre côtés égaux établissent une figure stable et délimitée, orientée précisément selon les points cardinaux. Cette base carrée ancre la structure dans le domaine terrestre : elle est mesurable, finie et alignée avec la surface de la Terre. Une seconde relation géométrique concerne le cercle. D'après les mesures de Petrie, le côté moyen de la base de la Grande Pyramide mesure 9 068,8 pouces, ce qui donne un périmètre total de 4 × 9 068,8 = 36 275,2 pouces. La hauteur est de 5 776 pouces. Si l'on prend le double de la hauteur et que l'on multiplie par π, on obtient 2 × 5 776 × π ≈ 36 275,2 pouces. Autrement dit, le périmètre de la base carrée est pratiquement égal à la circonférence d'un cercle dont le rayon est la hauteur de la pyramide. La hauteur joue le rôle d'un rayon ; le périmètre de la base, celui d'une circonférence. Un carré et un cercle sont liés par leur périmètre. La base carrée et l'axe vertical sont liés par une constante propre au cercle.

Cette connexion remarquable a été établie pour la première fois à l'époque moderne par John Taylor. Dans son ouvrage « La Grande Pyramide : Pourquoi a-t-elle été construite ? Et qui l'a construite ? », publié en 1859, Taylor soutenait que la hauteur et le périmètre de la base de la pyramide exprimaient la relation entre le rayon et la circonférence d'un cercle. Charles Piazzi Smyth découvrit l'ouvrage de Taylor peu après et intégra cette idée à ses propres travaux, citant l'ouvrage de Taylor de 1859 comme source de ces idées « tout à fait nouvelles ». Il approfondit ensuite ses recherches à partir de mesures antérieures, puis en menant sa propre étude à Gizeh. Piazzi Smyth publia « Notre héritage dans la Grande Pyramide » en 1864, se rendit en Égypte en 1865 et réalisa des mesures et des interprétations beaucoup plus détaillées.

Jomard n'a pas remarqué ce rapport pi lors de l'expédition napoléonienne (1798-1801). Greaves non plus, un siècle et demi auparavant, mais comme leurs mesures ne correspondaient pas à la structure réelle, ils n'auraient pas été en mesure de le constater.

L'un des aspects les plus intéressants de l'analyse de Jomard réside moins dans ses conclusions que dans sa conception de la géométrie de la pyramide. Il distingue soigneusement les dimensions qui auraient pu être mesurées directement par les bâtisseurs de celles qui n'existent que comme constructions géométriques. La base et la hauteur oblique (l'apothème) sont, pour lui, de véritables dimensions architecturales. La hauteur verticale, en revanche, n'est « qu'une ligne géométrique, impossible à obtenir autrement que par le calcul » (7). C'est donc le rapport entre la base et la hauteur oblique qui l'intéresse le plus, car ce sont les grandeurs qui pouvaient être mises en œuvre physiquement lors de la construction.

Cette perspective permet de comprendre pourquoi Jomard n'a jamais reconnu la fameuse relation en π entre le périmètre et la hauteur verticale. Bien qu'il ait reconstitué mathématiquement la hauteur perpendiculaire d'origine, son principal souci résidait dans les dimensions architecturales mesurables plutôt que dans les dimensions géométriques qui en découlent. Ironie frappante, il qualifie même la hauteur verticale d'« incommensurable » avec le côté de la base. Il n'emploie pas ici le terme au sens technique euclidien de grandeurs irrationnelles, mais simplement pour indiquer que les deux longueurs ne partagent pas de mesure commune directe au sein même de l'architecture. Son attention se porte donc sur les relations entières entre des lignes physiquement mesurables plutôt que sur les constructions géométriques qui en découlent. Cette distinction est importante, car elle illustre deux manières différentes d'interpréter la Grande Pyramide : comme un monument défini par des dimensions mesurables, ou comme un édifice dont la géométrie cachée peut délibérément inclure des lignes calculées telles que des diagonales, des rayons et des hauteurs perpendiculaires.

En utilisant les valeurs de Petrie pour la hauteur et le côté, le rapport π est approximatif, mais il est intéressant de constater qu'une meilleure correspondance est obtenue en utilisant la hauteur calculée à partir du triangle équilatéral via √3, soit une hauteur de 10 000 / √3 = 5 773,5 pouces. En effet, cela correspond presque parfaitement à la valeur du côté donnée par Petrie. Petrie : 9 068,8 pouces. Valeur calculée : 10 000 / √3 × 2π / 4 = 9 068,997.

En termes géométriques, la pyramide peut donc être comprise comme une transformation entre des formes. Le carré définit la base ; la hauteur introduit une dimension radiale ; et le périmètre complète la relation en faisant intervenir le cercle.

Cette interprétation étend également l'interprétation antérieure du pouce comme unité de temps. Lorsque la hauteur est exprimée en pouces, elle peut être comprise comme une durée, tout comme la longueur du Grand Rectangle de Gizeh était interprétée comme un long cycle temporel. La transformation de la hauteur en rayon devient alors une transformation de la durée en circonférence : une grandeur temporelle engendre une courbe spatiale. Ainsi, la pyramide établit un lien entre différents ordres de mesure. L'axe vertical, associé à l'élévation et à la structure, est mis en relation avec le mouvement circulaire, associé aux cycles et au retour.

Figure 6: La relation entre la hauteur et la base de la Grande Pyramide peut être comprise comme une suite de transformations géométriques. En partant de la hauteur, estimée à environ 10 000 / √3 pouces, on construit un cercle dont le rayon est égal à cette valeur. La circonférence de ce cercle est alors égale au périmètre d'un carré dont les côtés mesurent environ 9 069 pouces, une valeur remarquablement proche de la longueur moyenne du côté mesurée par Petrie (9 068,8 pouces). La pyramide peut donc être vue comme une translation géométrique du rayon à la circonférence, puis de la circonférence au carré. Plutôt que d'exister comme des dimensions isolées, la hauteur et la base participent à une seule et même construction géométrique.

Si l'on se souvient que la hauteur peut être interprétée comme 10 000 / √3 pouces, cela ajoute une dimension supplémentaire. On peut partir d'une vesica piscis, deux cercles de rayon 1, pour générer le rapport √3 dans la lentille créée par l'intersection des deux cercles. Si, au contraire, on prend la lentille comme étant de rayon 1, alors les rayons des cercles deviennent 1 / √3. En passant à l'échelle supérieure, si l'on prend la lentille comme étant de 10 000 pouces, alors les rayons des deux cercles seront de 10 000 / √3 pouces, soit la hauteur de la Grande Pyramide. La circonférence de chacun des deux cercles sera alors de 10 000 / √3 x 2π, et en pouces, cela correspond au périmètre de la base carrée de la Grande Pyramide. (10 000 / √3 x 2π = 36 275,987 ; Petrie donne un périmètre de base de 9 068,8 x 4 = 36 275,2, ce qui est à moins d’un pouce de la valeur calculée). Il ne reste donc plus qu’à transformer ce cercle en un carré de circonférence et de périmètre égaux. Chaque côté du carré mesurera un quart de la circonférence du cercle. En partant de la hauteur de la pyramide, interprétée géométriquement comme 10 000 / √3 pouces, on peut construire un cercle dont le rayon est égal à cette hauteur. La circonférence de ce cercle est presque exactement égale au périmètre de la base carrée. Rien de nouveau n’a été introduit ; la géométrie permet simplement de transformer une figure en une autre. La pyramide apparaît donc comme une transformation entre des formes circulaires et carrées.

Figure 7 : La vesica piscis classique établit la relation √3. Nous partons de la vesica piscis classique. Deux cercles de rayon un s’intersectent pour former une lentille dont la hauteur est √3. Cette construction fournit donc une origine géométrique naturelle à la relation √3.

Figure 8 : La construction peut être observée à l’envers. Si la lentille a la valeur 1, le rayon de chaque cercle devient 1/√3. Au lieu de générer √3, la vesica génère alors son inverse.

Figure 9 : La mise à l'échelle de la lentille à 10 000 pouces donne des cercles dont les rayons deviennent 10 000/√3 pouces. C'est presque exactement la hauteur de la Grande Pyramide exprimée en pouces. Chaque cercle possède donc une circonférence de 2π×10 000/32\pi \times 10\,000/\sqrt32π×10000/3​ pouces. La géométrie circulaire a maintenant généré une nouvelle quantité linéaire passant par π.

Figure 10 : Le cercle est ensuite transformé en carré en égalant la circonférence au périmètre. Chaque côté du carré mesure donc un quart de la circonférence du cercle. 

Figure 11 : Finalement, ce carré devient la base de la Grande Pyramide, tandis que le rayon initial devient sa hauteur. La relation familière entre le périmètre de la base et la hauteur de la pyramide découle donc naturellement des transformations successives de la vesica piscis.

Les figures étudiées ici peuvent être comprises comme des éléments d’une grammaire géométrique, un petit ensemble de transformations capable de générer une famille de formes d’une remarquable richesse. Si l’interprétation développée dans cet ouvrage est correcte, cette grammaire n’était pas une simple commodité mathématique, mais faisait partie d’un langage cosmologique plus vaste, reliant architecture, astronomie et mesure.

π / √3 comme grammaire récurrente

En observant les transformations géométriques de Gizeh à travers différentes figures, une relation récurrente se dessine avec une clarté croissante : la combinaison de π et √3. Ce rapport n’apparaît pas en un seul endroit, mais se manifeste dans de multiples constructions, reliant longueurs, aires et cercles implicites par une structure proportionnelle commune. Il renvoie également à la vesica pisicis et à la quadrature du cercle présentes dans les rapports fondamentaux de la Grande Pyramide. Plutôt que de considérer chaque occurrence de π/√3 comme une curiosité isolée, nous pouvons la comprendre comme l’une des règles génératrices du système.

L’un des exemples les plus directs se trouve à la base de la Grande Pyramide. Le côté moyen, mesuré par Petrie à 9 068,8 pouces, peut être exprimé avec une grande précision comme suit :

5 000 × (π / √3) ≈ 9 068,9968 pouces.

La concordance est de l’ordre du millimètre. Ici, le côté de la base carrée est généré par une relation qui combine géométrie circulaire et triangulaire : π, la constante du cercle, et √3, qui définit les proportions du triangle équilatéral. Cette même relation apparaît au niveau du Grand Rectangle de Gizeh. La longueur nord-sud de 35 713,2 pouces peut être approchée avec précision par une construction qui fait intervenir π/√3, combiné au mois synodique et à des facteurs rationnels simples. La récurrence de ce rapport à travers différentes dimensions suggère qu’il n’est pas fortuit, mais qu’il fait partie intégrante de la structure sous-jacente du système.

Géométriquement, la présence de √3 renvoie au triangle équilatéral. Si un triangle a des côtés de longueur 2, sa hauteur est √3. Cette figure établit donc une relation entre extension linéaire et projection verticale. Combinée à π, le rapport entre diamètre et circonférence, elle établit un lien entre triangle et cercle : entre arêtes droites et courbes.

L'apparition répétée de π/√3 signale un point d'intersection entre deux géométries fondamentales. Elle offre un moyen de passer de l'une à l'autre, permettant aux figures linéaires de générer des relations circulaires et aux quantités circulaires d'être exprimées au sein de formes rectilignes. On peut y voir une sorte de grammaire géométrique. De même qu'un petit ensemble de règles peut engendrer une vaste gamme d'expressions linguistiques, un petit ensemble de relations de proportionnalité peut engendrer une vaste gamme de figures géométriques. La récurrence de π/√3 dans différentes constructions suggère qu'elle fonctionne comme l'un de ces éléments générateurs : une relation par laquelle diverses formes peuvent être dérivées d'une structure commune.

La signification de ce phénomène devient plus claire lorsqu'on l'examine en parallèle avec les transformations déjà observées. La hauteur de la Grande Pyramide agit comme un rayon ; le périmètre de sa base correspond à une circonférence ; le rectangle peut être transformé en cercle par son périmètre ; et désormais, au sein de ces relations, un lien de proportionnalité cohérent apparaît, les unissant. Dans ce contexte, π/√3 fait partie intégrante du mécanisme de fonctionnement du système. Elle permet de mettre en relation différentes géométries, assurant ainsi la cohérence interne des transformations de la ligne au cercle, du rectangle à la circonférence et de la base à la hauteur.

La présence de ce rapport à différentes échelles renforce l'impression que la géométrie de Gizeh n'est pas assemblée à partir de correspondances isolées, mais générée par un petit nombre de relations sous-jacentes. Ces relations ne fixent pas la forme a priori, mais guident son développement, autorisant des variations au sein d'un cadre cohérent.

Dans ce qui suit, cette interaction entre géométrie et nombre sera approfondie. La dimension verticale, déjà liée au cercle par la hauteur de la pyramide, sera mise en relation avec des cycles de longue durée, introduisant √3 dans un nouveau contexte et étendant à nouveau le système de la géométrie au temps.

Une expression similaire de cette géométrie triangulaire apparaît si l'on considère la base de la Grande Pyramide comme le côté d'un triangle équilatéral. En prenant une valeur de 9069,13 pouces, proche des 9068,8 pouces de Petrie, le triangle engendre deux cercles associés : un cercle inscrit et un cercle circonscrit. Le rayon du cercle inscrit est d’environ 2618,03 pouces, tandis que celui du cercle circonscrit est d’environ 5236,06 pouces. Ces valeurs correspondent approximativement à φ² × 1000 et φ² × 2000 respectivement, introduisant ainsi le nombre d’or dans le même cadre géométrique qui contient déjà π et √3. La plus grande valeur, 5236,06, correspond également à 10 000 coudées égyptiennes lorsqu’elle est exprimée en mètres, reliant ainsi la construction à des systèmes de mesure connus. Ce qui est frappant ici, ce n’est pas seulement la concordance numérique, mais aussi la continuité de la transformation : une même longueur de base engendre un triangle, qui à son tour engendre deux cercles, chacun conservant une identité proportionnelle à travers différentes formes géométriques. Le pouce, une fois de plus, fonctionne comme l'unité de médiation à travers laquelle ces relations deviennent visibles, étendant le système. Le diagramme représente la relation de proportionnalité entre les cycles solaires et lunaires, montrant comment le rapport entre l'année civile et l'année draconique, et l'année lunaire et le mois synodique, tend vers une expression simple impliquant π / √3. Le résultat obtenu est une approximation du nombre de lunaisons par an, suggérant que cette constante irrationnelle pourrait émerger naturellement de l'interaction de cycles astronomiques indépendants plutôt que d'être imposée de l'extérieur.

Figure 12

Figure 13

Cette construction illustre comment la relation π/√3 peut émerger naturellement du mois synodique de 29,53059 jours. Le mois lunaire définit d'abord la hauteur d'un triangle équilatéral. Le côté de ce triangle devient alors le diamètre d'un cercle, introduisant ainsi π par l'intermédiaire de la circonférence du cercle. La division de cette circonférence en trois parties égales génère un second triangle équilatéral, ramenant la construction à √3. L'expression résultante, 29,53059 × 2π / (3√3), n'est donc pas imposée de l'extérieur, mais émerge de transformations géométriques successives reliant le cycle lunaire, le triangle équilatéral et le cercle.

Les figures précédentes ont montré comment π et √3 émergent par la géométrie. Ce dernier diagramme interroge la présence de cette même relation de proportionnalité au sein des cycles astronomiques. En utilisant l'année civile, l'année draconique, l'année tropique et le mois synodique, le rapport obtenu se rapproche de l'expression familière impliquant π/√3. Si tel est le cas, la signification de cette constante ne se limiterait pas à la seule géométrie. Elle représenterait un point de convergence entre des systèmes indépendants – géométrie, architecture et astronomie – et une même relation de proportionnalité.

La Grande Pyramide : Deux Triangles (et un autre à Stonehenge)

The side of the Great Pyramid can be said to be based on the inch. The diagram below shows that a circle with a radius of 1000 x Phi squared inches fits inside an equilateral triangle with sides equal to the GP. The equilateral triangle generates √3. 

The equilateral triangle also provides a geometrical setting for the draconic month. Taking the perimeter of the triangle as approximately 27.2122 units—the draconic month in days—gives sides of approximately 9.0707. The radius of the inscribed circle is then approximately 2.6185, very close to ϕ² . The point is not that the draconic month literally “contains” the golden ratio, but that an astronomical period, once translated into an equilateral triangle, generates a familiar proportional constant through the triangle’s inradius. Time is again converted into geometry. 

Figure: 14

La valeur du rayon du cercle circonscrit, ici de 5236 pouces, équivaut à la longueur d'une coudée royale égyptienne en mètres.

On retrouve cette même relation cercle-triangle à Stonehenge, à une échelle plus réduite. En prenant le diamètre mesuré du cercle de Sarsen, un triangle équilatéral inscrit à l'intérieur mesure environ 906,9 pouces de hauteur. Multipliée par dix, cette valeur est très proche de la longueur moyenne du côté de la Grande Pyramide, calculée par Petrie (9068,8 pouces). Cette comparaison n'établit pas en soi de lien historique entre Stonehenge et Gizeh. Elle montre cependant que la même construction élémentaire, un cercle contenant un triangle équilatéral, peut engendrer des dimensions très similaires pour deux monuments pourtant très différents.

Une transformation similaire apparaît dans le cercle de Bluestone. Sa circonférence est presque trois fois supérieure à la longueur du côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de Sarsen. On peut donc interpréter les deux cercles de Stonehenge à travers la même transition entre cercle, triangle, circonférence et mesure linéaire que l'on retrouve à Gizeh. Exprimée en pouces, cette relation de proportionnalité devient particulièrement visible.

Figure 16

Figures 17 et 18 : La hauteur d’un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de Sarsen, agrandie dix fois, est très proche de la hauteur du côté de la Grande Pyramide. Stonehenge et Gizeh ne sont pas présentés ici comme des copies l’un de l’autre, mais comme des expressions à différentes échelles d’une géométrie commune composée d’un cercle et d’un triangle.

L'année lunaire

Pourquoi cette relation entre le carré et le cercle présentait-elle un intérêt en astronomie antique ? Une raison possible est sa pertinence pour la compréhension du temps en termes de cycles. L'année lunaire en est un exemple. Si l'on considère un cercle de diamètre 400 unités, un carré d'aire égale aura des côtés de √(40 000π). Cela correspond approximativement à 354,49, une valeur très proche de la durée d'une année lunaire en jours (354,36708). Une construction similaire, utilisant un cercle plus petit, donne une approximation du mois synodique.

Ce qui est remarquable ici, c'est la simplicité du processus. Une grandeur circulaire, définie par π, est convertie en une mesure linéaire par le côté d'un carré. Le résultat correspond à un cycle temporel. Cela suggère que la quadrature du cercle pourrait servir de pont entre la géométrie et l'astronomie. Le temps cyclique, représenté par le cercle, est traduit en une longueur mesurable. L'année lunaire devient non seulement une période de temps, mais aussi une grandeur géométrique. La construction à grande échelle commence par un cercle de diamètre 400. Un carré d'aire égale a des côtés de 200 × 200 × √π, soit environ 354,49, proche de la durée de l'année lunaire (354,367 jours). La construction à petite échelle reprend le même principe à l'échelle un quart. Un cercle de diamètre 100 produit un carré d'aire égale dont le périmètre est proche de 354,49 ; un douzième de ce périmètre est approximativement égal à 29,54, proche du mois synodique. L'année et le mois sont donc générés par des transformations cercle-carré à différentes échelles.

De telles constructions ne produisent pas de valeurs exactes, mais des approximations structurées. Les relations sont suffisamment précises pour être significatives. Cet équilibre entre précision et approximation est caractéristique de la géométrie appliquée.

Conçu ainsi, le problème n'est pas un problème d'impossibilité, mais de médiation. Dans le monde matériel, il est impossible de construire un carré parfait autour d'un cercle, mais on peut l'approcher de manière satisfaisante. Cette perspective nous permet de comprendre l'intérêt que de telles constructions ont pu susciter. Elles offrent un moyen d'exprimer les cycles astronomiques, des mois et années lunaires aux cycles beaucoup plus longs, dans un cadre géométrique. Les figures obtenues ne sont pas des solutions exactes, mais des approximations structurées qui préservent les relations entre les grandeurs impliquées.

En ce sens, la « quadrature du cercle » devient moins un problème à résoudre qu'une méthode à utiliser. C'est l'une des opérations clés qui semblent régir la géométrie de Gizeh.

Figure 19

Le Sommet

Existe-t-il donc un lieu où le fini et l'infini se rencontrent ? La géométrie explorée tout au long de ce chapitre revient sans cesse à la frontière entre le fini et l'infini, le mesurable et l'intelligible. Toute construction commence par des longueurs concrètes et des figures finies, et pourtant chacune dépend en fin de compte de quantités qui ne peuvent jamais être pleinement incarnées dans le monde matériel. La racine carrée de deux, la racine carrée de trois, π, le point géométrique lui-même : chacune est parfaitement intelligible, et pourtant aucune ne peut être pleinement réalisée dans la matière. La géométrie se situe donc à la limite. Elle n'appartient ni entièrement à la pensée ni entièrement à la pierre, mais elle assure constamment la médiation entre elles.

C'est peut-être pourquoi le problème de la quadrature du cercle a exercé une fascination si durable. Il ne s'agit pas simplement de construire une figure à partir d'une autre, mais d'explorer la relation entre deux modes de réalité : celle qui peut être conçue avec une clarté parfaite, et celle qui ne peut jamais être qu'approximée dans le monde du devenir. L'impossibilité n'est pas un échec de la géométrie. C'est un rappel que le fini tend sans cesse vers ce qui le dépasse sans jamais l'épuiser.

On peut comprendre la Grande Pyramide elle-même sous cet angle. Ses quatre arêtes s'élèvent inexorablement vers un unique point géométrique. Pourtant, ce point, au sens d'Euclide, est dépourvu de toute grandeur. Il ne peut être extrait, mesuré ni matérialisé. Le monument s'approche de ce point sans jamais le devenir. Le sommet est donc plus qu'une simple terminaison architecturale. Il devient un symbole de la géométrie elle-même : le lieu où la forme matérielle tend vers un idéal qu'elle ne pourra jamais incarner pleinement. La question de savoir si un pyramidion atteignait ou non le sommet est, d'une certaine manière, secondaire. Le véritable sommet n'appartient pas seulement au monument, mais aussi à l'imagination. Ce point est absent de la pierre, et pourtant, sans lui, la pierre n'aurait jamais pu être façonnée. Le fini et l'infini ne peuvent-ils jamais se rencontrer ? Ils sont comme la main d'Adam et la main de Dieu qui se touchent presque, sans jamais se frôler, sur la voûte de la chapelle Sixtine de Michel-Ange.

La géométrie de Gizeh, en tant que transformations et devenirs, n'est pas qu'un simple outil mathématique ; elle invite à la méditation sur le rapport entre finitude et infini, matière et pensée, mesurable et incommensurable. La géométrie devient une discipline qui porte l'attention vers ce seuil. Elle nous rappelle que toute construction finie renvoie à une réalité qui dépasse toujours toute expression complète.

Si le fini et l'infini ne peuvent jamais se rencontrer pleinement, il existe un moyen de les relier, du moins selon les philosophes et les théologiens : l'âme. Plotin propose une perspective fascinante sur le rapport entre le monde intelligible et le monde sensible. Contrairement à la division éthique de l'âme en raison, esprit et appétit chez Platon, Plotin s'intéresse avant tout à son orientation. L'âme n'habite pas simplement le monde matériel. Comme il l'écrit :

L'âme appartient donc, de différentes manières, aux deux ordres de réalité. Elle agit au sein du monde du devenir tout en demeurant constamment tournée vers le monde intelligible dont elle procède. Les deux mondes ne se confondent pas, mais ne sont pas non plus totalement séparés. L'âme elle-même devient leur médiatrice.

Cette médiation n'est pas seulement métaphysique, mais aussi éthique. La question n'est pas seulement de savoir ce qu'est l'âme, mais vers quoi elle est tournée. Augustin développe cet héritage plotinien en déplaçant l'accent de la cosmologie vers la vie intérieure. L'âme humaine est continuellement orientée soit vers les choses temporelles, soit vers Dieu, et la vie éthique consiste en une réorientation constante de l'attention vers le bien suprême. L'âme est donc comprise moins comme une possession statique que comme un mouvement d'orientation. Notre manière de vivre dépend de la direction que nous prenons.

Les conceptions égyptiennes de la personne suggèrent que l'existence était comprise moins comme un état fixe que comme un processus continu de transformation. Le ba, souvent représenté comme un oiseau à tête humaine quittant et revenant au tombeau, voyageait entre les mondes ; le défunt aspirait à devenir un akh, et le maintien de Maât exigeait une participation rituelle continue. Plutôt que d’opposer le temporel et l’éternel, la pensée égyptienne explore sans cesse comment le mouvement, le renouveau et la transformation permettent de participer à un ordre cosmique immuable. L’ordre ne s’oppose pas au changement ; il se réalise par un renouveau perpétuel. Peut-être le concept de renouveau est-il même plus important, en termes sacrés, que celui de devenir ou d’être.

On peut peut-être comprendre la géométrie de manière similaire. Plutôt que d’être une simple collection de figures, elle devient une activité de médiation. Elle appartient simultanément à la pensée et à la matière, à l’idéal et au construit, préservant les relations intelligibles tout en leur donnant une expression matérielle. La géométrie n’abolit pas la distinction entre ces domaines. Au contraire, elle traduit continuellement de l’un à l’autre. En ce sens, elle joue un rôle curieusement analogue à celui de l’âme de Plotin : rester orientée vers un ordre tout en agissant au sein d’un autre. On pourrait dire que pratiquer la géométrie, métaphysiquement parlant, c'est s'accorder à son âme et, par là même, au cosmos.

La Grande Pyramide semble incarner cette intuition philosophique. Chaque pierre appartient indéniablement à la terre, et pourtant, le monument tout entier est orienté vers un point qu'aucune pierre ne peut atteindre. Le pyramidion, cette partie de pierre qui coiffe la Grande Pyramide et se termine en pointe, a suscité de nombreuses spéculations. Là où l'on s'attendrait à un sommet pointu, il n'y a rien, juste une plateforme plate légèrement en contrebas. En effet, ses quatre faces et ses quatre arêtes convergent vers un point imaginaire. C'est un point euclidien, un point sans magnitude, invisible et pourtant parfaitement intelligible. Mais c'est peut-être précisément là l'essentiel. Le sommet ne se contente donc pas de parachever l'architecture. Il attire le regard vers le haut. Il invite à l'orientation. La pyramide se comporte, en un sens, comme Plotin imaginait que l'âme se comporte : faisant le lien entre l'éternel et le temporel, pleinement ancrée dans le monde matériel, tout en étant constamment tournée vers l'au-delà.

On peut sans doute reconnaître ce même schéma dans la géométrie plus vaste de Gizeh. Le Grand Rectangle de Gizeh s'étend horizontalement sur le plateau, intégré au paysage et exprimé par des distances mesurables. Il est le monde de l'étendue, du nombre et de l'architecture. Le long de son axe nord-sud, la géométrie oriente sans cesse le regard vers le ciel, car, en tant que distance, nombre ou valeur, elle semble incarner un super-cycle composé des cycles des sept planètes classiques et des étoiles de fond dans leur mouvement de précession. Ceci est potentiellement identique aux huit cercles du récit de la création de Platon, tel qu'il est présenté dans le Timée. Pourtant, cette distance est parfaitement plane, horizontale. Par nos yeux et notre esprit, nous pouvons appréhender les cycles célestes et, grâce à nos capacités humaines, construire un monument tel que le complexe des pyramides de Gizeh. Par notre âme, et à travers la verticalité de la Grande Pyramide, nous pouvons nous élever, participant à de vastes cycles de devenir, non seulement dans le temps, mais aussi vers l'éternel et l'infini, au-delà du temps. L'horizontalité et la verticalité expriment ainsi des aspects complémentaires de la réalité. L'une nous ancre dans le temps et le monde mesurable ; l'autre invite à la contemplation de la permanence, de l'intelligibilité et de l'éternité.

Figure 20: Les lignes ascendantes de la Grande Pyramide convergent en un point qui n'a pas d'extension.

Ensemble, la géométrie, les nombres et l'astronomie cultivent une disposition particulière de l'âme : non pas une fuite du monde matériel, mais une manière de l'habiter tout en restant consciemment tourné vers ce qui le transcende sans cesse. On peut y ajouter, bien sûr, la musique.

L'axe nord-sud, la pyramide pointant vers son sommet, l'Âme du Monde tournée vers l'Intellect, l'âme d'Augustin tournée vers Dieu, le philosophe de Platon passant du devenir à l'être : autant d'expressions, dans différentes traditions, d'un même acte fondamental. Ce sont des actes de participation et d'orientation. La géométrie sacrée n'est ni le culte des figures ni la recherche de codes cachés. Elle est la culture de l'orientation par la géométrie : une discipline par laquelle les êtres humains apprennent à habiter le monde fini tout en restant consciemment tournés vers ce qui le transcende. Les pyramides de Gizeh n'ont pas seulement survécu à l'histoire, mais ont continuellement engendré de nouvelles façons de penser la relation de l'humanité à la Terre, aux cieux et à elle-même.

La quadrature du cercle, le couronnement de la pyramide

La quadrature du cercle ne consiste pas simplement à résoudre un problème géométrique. Il s'agit d'entrer en dialogue entre des formes qui ne peuvent jamais devenir identiques, et pourtant se transforment continuellement l'une en l'autre. Le cercle demeure un cercle ; le carré demeure un carré ; pourtant, chacun recèle la possibilité de l'autre. L'identité persiste, non en résistant au changement, mais en le traversant.

Le sommet manquant de la Grande Pyramide peut être compris de manière similaire. C'est le point vers lequel convergent toutes les assises de maçonnerie, et pourtant, il est lui-même sans dimension. À l'instar du point mathématique, il possède une position, mais aucune magnitude. Il appartient simultanément au monument visible et à une géométrie idéale qui le transcende. La survie ou non de la pierre de faîte originelle est presque secondaire. La pyramide pointe toujours au-delà d'elle-même, vers un achèvement invisible.

La question posée par la Grande Pyramide est peut-être celle de savoir comment la permanence naît de la transformation continuelle. Comment le visible participe-t-il à l'invisible ? Comment le temps révèle-t-il l'éternité sans jamais cesser d'être temps ? Les différents éléments du complexe de Gizeh peuvent être compris comme les pièces d'une machine métaphysique, chacun étant à la fois le résultat et l'impulsion de la transformation. Cercles, carrés, pyramides : tels sont les mécanismes géométriques par lesquels ciel et terre, mesure et forme, pensée et pierre se confondent et se régénèrent sans cesse. Le sommet n'est pas seulement la cime de la pyramide. Il est la direction vers laquelle pointe l'ensemble du monument : vers la possibilité que la réalité elle-même ne soit pas un ensemble de choses figées, mais un processus ordonné de devenir continu.

Notes

1. Plato, Timaeus, Translated by Benjamin Jowett

2. Plato, Timaeus, 49–50

3. Plato, Timaeus

4. Petrie, Inductive Metrology, chapter 2

5.  John Michell, City of Revelation

6. Ibid.

7. Jomard, Description de l'Égypte, Antiquités, vol. III, part 1 (Paris: Imprimerie Impériale, 1809), 521.

8. Plotinus. Ennead IV.8: On the Descent of the Soul into Bodies. Translated with Introduction and Commentary by Barrie Fleet. Las Vegas: Parmenides Publishing, 2012.