Dans le dernier article, j’ai exploré le concept de quadrature du cercle, comment il est lié à des unités telles que le mile anglais, par rapport à la circonférence équatoriale, et son application dans des sites anciens tels que Gizeh.
Les quadratures de cercles de John Michell
John Michell a découvert à Stonehenge une quadrature du cercle, dans ce cas non pas par l'aire mais par la circonférence et le périmètre. On commence par dessiner un cercle de diamètre de 7 920 000 pieds anglais. Ce diamètre représente la taille de la terre, non pas en miles (ce qui est un diamètre moyen correct avec pi égal à 864/275 et la circonférence moyenne à 24 883,2 miles) mais en pieds. Le cercle est inscrit dans un carré de côtés de 7 920 pieds et de périmètre de 7 920 x 4 = 31 680 pieds. La quadrature du cercle consiste ensuite à dessiner un autre cercle de même circonférence que le carré. Comme pi est irrationnel, il est impossible de faire correspondre exactement le périmètre du nouveau carré au périmètre du carré. De manière appliquée, cependant, lorsqu'une approximation est nécessaire, cela peut être fait. Le processus prend une importance symbolique dans la mesure où il transfère le monde mystérieux de l’irrationnel, de l’ineffable et de l’incompréhensible à ce monde.
Le processus de quadrature du cercle a une portée qui implique la Lune. C'est probablement l'une des idées les plus célèbres de John Michell. Le carré dessiné autour de la circonférence de la Terre, qui produit ensuite un deuxième cercle dont la circonférence est égale au périmètre du carré, est juste de la bonne taille pour inclure le rayon de la Lune. Par une étrange coïncidence naturelle, le carré dessiné autour du cercle représentant la Terre a le même périmètre que la circonférence d'un cercle dont le diamètre est égal au diamètre de la Terre plus le diamètre de la Lune.
Le diamètre équatorial de la Lune est exactement de 2 160 miles, soit 1,738,1 km (Wikipedia). Le diamètre moyen de la Terre étant de 7 920 miles, cela donne un total de 10 080 miles. Tous ces nombres sont des multiples de 9, 2160 est égal à 240 x 9, 7 920 est égal à 880 x 9 et 10 080 est égal à 2 x 7 x 80 x 9. Auparavant, l'approximation 864/275 pour pi était utilisée pour obtenir le diamètre moyen de la terre par rapport à une circonférence de 24 883,2 miles (ce qui représente un peu plus de deux miles de l'estimation actuelle). Ici, nous utilisons maintenant 22/7 pour pi. Un cercle d'un diamètre de 10 080 miles, représentant les diamètres conjoints de la terre (moyenne) et de la lune (équatoriale), et pi comme 22/7, la circonférence est de 31 680 miles. C'est le nombre significatif 3168 multiplié par 10.
Si nous devions utiliser les valeurs actuelles pour les tailles de la Terre et de la Lune, et l'approximation de pi donnée par une calculatrice, nous obtiendrions 31 666,866 miles. Le rayon moyen est donné comme étant de 6371,0 km ou 3 958,75586 miles (Wikipedia), donc le diamètre est le double de cela.
(3 958,75586 + 2 160) x π = 31 659,43680
Cela est également très proche de 190 000 / 6 = 31 666,66667, et un lien possible intéressant avec le cycle de Méton de 19 ans, et 6, le nombre parfait et très important de la métrologie antique. Le nombre 31 680 est en fait 190 080 / 6. Le nombre 190 080 est également important et est un multiple de 9, soit 10 x 33 x 64 x 9. Ce nombre 190 080 est également lié au soleil : le diamètre du soleil peut être estimé approximativement par 19 008 000 / 7 miles, et le diamètre par 19 008 000 / (7π).
Le rayon équatorial du soleil est donné aujourd'hui comme étant de 6,957 x 10⁸ m (Wikipedia), soit 432 287,9384 miles. On pensait autrefois qu'il était de 432 000 miles, un autre nombre important dans le système antique. La circonférence devient alors 2 716 145,2232 miles (avec les valeurs d'aujourd'hui) ou 2 715 428,571428 miles avec la valeur ancienne, qui est aussi 19 008 000 / 7 miles.
Dans le système décrit par Michell, on voit qu'il est important d'arrondir vers le haut ou vers le bas au multiple de 9 le plus proche, et que des variations sur les approximations de pi peuvent y parvenir.
Une autre quadrature de cercle possible à Stonehenge
En regardant les dimensions de Thom pour Stonehenge, j'ai vu que le diamètre du cercle d'Aubrey pouvait être interprété comme 1920 x √π pouces, ce qui m'a fait me demander s'il y avait ici aussi une quadrature d'un cercle à l'œuvre, non pas par la circonférence mais par l'aire. Lorsqu'un cercle d'aire π est « mis au carré », le carré résultant aura des côtés de √π. Le cercle d'Aubrey est le plus grand cercle du cercle de terrassement et se compose de 56 trous de poteaux. Le cercle d'Aubrey est celui en jaune sur le diagramme ci-contre. Thom donne 86,44 mètres de diamètre.
Il existe bien sûr de nombreuses interprétations possibles, en raison de la taille des pierres, il existe plusieurs façons de mesurer les distances entre elles. De plus, comme il y a eu des mouvements au cours des siècles, certaines pierres étant tombées et ayant été redressées par exemple, nous devons travailler avec une marge d'erreur assez élevée. On ne peut pas s'attendre à ce que deux personnes prennent la même mesure entre deux pierres. Le cercle d'Aubrey pourrait être interprété comme 520 coudées royales égyptiennes par exemple. Ou 19 / 7 mètres, une référence à la fraction d'argent de Robin Heath, ou des échos de la circonférence du soleil en miles. Il existe de nombreuses autres excellentes interprétations.
Dans cette interprétation, le cercle d'Aubrey est représenté en jaune et mesure 1 920 x √π = 3 403,1114 pouces.
Ci-dessous, cette interprétation est présentée à côté d'un plan de Stonehenge.
Le cercle de départ, en violet, semble traverser certains éléments du plan.
Quadratures de cercles et astronomie
J'ai également expérimenté avec l'approximation d'une lunaison en jours et d'une année lunaire en élevant des cercles au carré, comme le montrent les diagrammes ci-dessous.
Ce processus fonctionne un peu comme la multiplication de l'œil d'Horus, 63/64. On commence avec un nombre et le résultat est légèrement inférieur. Donc ici, on commence avec 360, la fonction est x √2 x π x √π / 8, et le résultat est 354,36622. Si on commence avec 64, le résultat serait 62,99844, très proche de 63. Nous pourrions également utiliser cette fonction par exemple pour le nombre 432, si nous l'entrons dans la fonction, nous obtenons un résultat de 425,23947, et nous pouvons ensuite prendre la racine carrée de ce résultat et obtenir 20,621335, ce qui, en pouces, est une coudée royale égyptienne acceptable. La fonction fait également le lien entre les pieds arabes et français, donc si nous entrons 12,8 pouces, le résultat est 12,599687 pouces.
L'année lunaire peut également être estimée de manière plus simple, comme ci-dessous, mais avec une marge d'erreur légèrement plus grande. Ci-dessus, le résultat était 354,36622, et ci-dessous, 354,49077. Une année lunaire dure 354,36708 jours.
Cercles carrés et métrologie
Un mètre mesure 39,3700787402 pouces (ou 10 000 / 254 pouces). Historiquement, jusqu'à la fin du 19e siècle, un mètre non officiel de 39,375 pouces était important dans l'étude de la métrologie, ce qui est proche de 29,53059 x 4 / 3 = 39,37412. Le diagramme ci-dessous montre comment obtenir cette valeur.
Voici deux manières possibles d'estimer un chiffre égyptien en pouces. Seize de ces chiffres correspondent à un pied romain, 18 à un pied sumérien ou saxon, 20 à un remen et 54 à un mètre de 39,366 ou 39,375 pouces.
Le diagramme ci-dessous montre comment approximer un pied saxon ou sumérien de 13,2 pouces.
Le diagramme ci-dessous montre une approximation d'un pied saxon basé sur 18 chiffres de 0,72916667 pouces.
D'autres unités pourraient être approximées de manière similaire, par exemple une coudée royale égyptienne de 20,6165 pouces par : 2,618034 x √2 x π x √π, ou un pied romain par 40 / 27 x √2 x π x √π pouces, ou un mile par 700 000 / 87 x √2 x π x √π pouces.
Connections sur le plateau de Gizeh
On peut aussi lier les dimensions du plan de Gizeh à ces fonctions géométriques.
Conclusion
L'exploration de la quadrature du cercle, que ce soit par le biais de la métrologie ancienne ou de phénomènes astronomiques, révèle une intersection fascinante entre géométrie, mathématiques et symbolisme. Bien que ces constructions ne fournissent pas de solutions exactes, elles offrent des approximations intrigantes qui reflètent la sophistication des pratiques anciennes. Des découvertes de John Michell à Stonehenge aux différentes manières d'approcher les cycles lunaires et les unités de mesure historiques, ces méthodes géométriques soulignent la quête humaine permanente de comprendre et de symboliser le monde à travers des relations mathématiques. Bien que spéculatives, ces connexions nous invitent à apprécier le mélange de précision et d'approximation qui a façonné notre compréhension de l'univers à travers différentes cultures et époques.
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