Le terme « incommensurable » signifie « sans mesure commune » et renvoie à deux grandeurs, ou à deux paradigmes. L'idée a apparemment ses origines dans les mathématiques de la Grèce antique, où elle décrivait le problème de savoir comment un nombre irrationnel tel que pi ou la racine carrée de deux peut définir la relation entre deux parties d'une forme géométrique. Aucun « nombre rationnel » ne peut exprimer la racine carrée de 2 par exemple, il est donc impossible de mesurer exactement la diagonale d'un carré par rapport à son côté, ou le nombre d'unités dont le côté est constitué. Il n'y a pas d'unité de mesure commune entre le côté et la diagonale. Chaque fois qu'on essaye de définir la longueur de la diagonale par rapport à des parties aliquotes du côté, il en restera toujours un peu. Le même problème se pose bien sûr dans un cercle, dans un pentagone et dans de nombreuses autres formes géométriques où les racines carrées, ou bien pi ou Phi définissent des relations entre les longueurs. Il n'y a tout simplement pas d'unité de mesure commune entre un diamètre et une circonférence, ou entre le côté et la longueur d'un pentagone.
Le paradoxe est que pi, Phi et diverses racines carrées (principalement √2, √3 et √5) sont au cœur de diverses unités de mesure, telles qu'elles ont été comprises au fil du temps, dans le domaine de la métrologie historique. Les nombres irrationnels, qui devraient normalement anéantir toute possibilité de rapprochement entre diamètre et côté, ou diamètre et circonférence, définissent en fait les relations entre remen et coudée, ou entre pied et mètre. Bizarre vraiment ! Et pourtant, cela semble être le cas si souvent. Un seul exemple est la circonférence d'un cercle mesurant 6 coudées royales égyptiennes, qui a un diamètre de 1 mètre antique. S'il n'y a pas d'unité commune entre un diamètre et une circonférence, par exemple, pourquoi diable deux unités de mesure devraient-elles être dérivées du diamètre et de la circonférence d'un cercle ?
Cela n'est pas tout à fait vrai. Ce ne sont pas vraiment de véritables irrationnels à l'œuvre ici. Ce qui définit les relations entre ces anciennes unités, ce sont les approximations de pi, Phi et les différentes racines carrées. Donc, en pratique, pi est parfois 22/7, parfois 25/8, parfois la fraction Rhind Papyrus 256/81= de 3,160493827, ou 3,141818181818, ou même tout simplement 3,15. Et Phi est souvent approximé comme une fraction de deux nombres de Fibonacci consécutifs, comme 55/34 ou 34/21. De la même manière, Phi au carré, qui revient souvent dans la métrologie ancienne, se retrouve apparemment sous la forme 55/21, ou 144/55. La racine carrée de deux se trouve principalement sous la forme 99/70. L'utilisation apparente de telles ruses pour contourner le problème épineux de l'irrationalité a conduit certains à en déduire que les «anciens» ne connaissaient rien aux irrationnels et n'avaient pas compris pi ou Phi du tout. La science exige des preuves, et il n'y a aucune preuve d'irrationnels avant un certain point dans le temps... donc les humains ne les avaient pas encore compris. Il y a des problèmes évidents avec cette logique, dans le contexte du passé antique, dont tout ce qui a jamais été écrit n'a pas survécu. Ce point de vue repose également sur une idée générale selon laquelle à l'époque, les mathématiques étaient assez basiques et qu'ils avaient encore beaucoup de travail à faire. Comment auraient-ils pu comprendre le concept d'irrationalité, ou être en mesure de mieux approximer pi, alors que Newton n'était même pas encore né ? Ceci en dépit des histoires de Pythagoriciens jetant un malheureux par-dessus bord, noyé comme punition pour avoir révélé le fait que les racines carrées de 2, 3 et 5, par exemple, étaient irrationnelles. Ce point de vue va également bien avec l'idée qu'avant les Grecs, les gens étaient assez stupides, se promenaient probablement en grognant dans des peaux d'animaux et étaient généralement assez peu sophistiqués. Ceci en dépit de nombreux récits de science très sophistiquée provenant d'endroits tels que l'Inde bien avant l'époque de Platon, et déduite de sites très anciens tels que Stonehenge et Gizeh. Les mathématiques de base, les humains de base et le manque de preuves écrites sont les principaux arguments contre la découverte des irrationnels dans le monde antique. Inutile de dire que de nombreux chercheurs sont convaincus que les sciences et les mathématiques avaient atteint des sommets vertigineux bien avant le « miracle » grec, à divers stades de la soi-disant préhistoire. Le concept d'incommensurabilité définit non seulement la tâche à accomplir en essayant de reconstituer le fonctionnement réel des mesures anciennes, mais aussi les approches contradictoires de divers chercheurs essayant de tout comprendre. Une incompatibilité de paradigmes sous-tend les compréhensions contemporaines de la géométrie ancienne.
Voici quelques exemples d'unités de mesure trouvées dans le monde antique qui semblent être liées par des approximations de pi, Phi et √2. La coudée royale égyptienne de 20,625" multipliée par 144/55 et 0,7291666667 (le chiffre égyptien en pouces) donne l'ancien mètre en pouces, de 39,375". (Un mètre aussi ancien n'est en aucun cas universellement accepté, mais c'est l'art d'une théorie des unités qui comprend comme élément de base un chiffre de 0,7291666667 ", dont 54 composent cette unité de 39,375"). La longueur de 20,625" est à son tour la diagonale d'un carré avec des côtés of 20 de ces chiffres, et l'ancien mètre de 39,375 est la diagonale d'un carré avec des côtés de 20 x 144/55 x 0,729166667 x 0,7291666667 pouces, le tout bien sûr avec 99/70 pour √2.
Voici quelques autres exemples.
Il y a donc beaucoup de liens possibles entre les unités de mesure qui nécessitent l'utilisation de 22/7, 25/8, 99/70, 144/55 ou 55/21 par exemple. Ces approximations ont-elles été réellement utilisées ? Si oui, ont-ils été utilisés parce que c'était le mieux qu'ils pouvaient faire, étant incapables de définir le vrai pi ou Phi ou la racine 2 ? Ou y avait-il un but à cette pratique, qui pourrait finalement trahir un haut degré de sophistication ?
Prenons l'exemple de la Grande Pyramide de Gizeh. Il est bien connu que le côté de la pyramide est en rapport pi avec la hauteur. Ou plutôt, deux côtés multipliés par 7/22 (environ 1/pi) donnent la hauteur. Cela suggérerait que l'unité ou les unités qui composent la hauteur sont elles-mêmes en rapport «pi» avec les unités qui constituent les côtés de base.
Matthew Flinders Petrie a donné son estimation de la hauteur de la Grande Pyramide à 5 776 pouces et du côté moyen de la base (ils sont tous légèrement différents) à 9 068,8". Si nous modifions ces chiffres légèrement de trois pouces environ, disons 9 072 pouces et 5 773,090909 ", alors oui, c'est parfait. Tout ça grâce au 22/7. Et il s'avère que ce que le 22/7 permet, c'est de faire rentrer la racine carrée de deux et Phi au carré par la porte de derrière. Côté base et hauteur ne sont pas liés par pi mais par une approximation de pi. Comment pourrait-il en être autrement, puisque la pyramide existe dans ce monde, avec une certaine hauteur et des côtés matériels tangibles, qui sont mesurables. Si les deux sont mesurables, alors clairement, le vrai pi n'a pas été utilisé. Si le côté de base et la hauteur sont liés par une approximation de pi, peuvent-ils aussi être liés par des approximations d'autres irrationnels ?
Ce qui ressort de la comparaison de la hauteur et du côté de la Grande Pyramide de toutes les façons possibles, c'est que pi comme 22/7 = 99/70 x 20/9, ce qui offre un lien avec l'approximation de la racine carrée de deux, et aussi 22/7 = 55/21 x 6/5, qui offre une connexion entre pi, racine 2 et Phi au carré. Cette dernière est assez connue, et en fait la coudée royale égyptienne de 20,625 pouces (qui est 20,618181818 multiplié par 3 025/3 024, qui est le rapport exact entre deux approximations du phi au carré, 144/55 et 55/21, et aussi entre deux approximations pi 22/7 et 864/275), revient à 0,5238095238 mètres, avec la relation 39,375 pouces - mètre. (Le mètre est composé de 54 doigts, et ce doigt multiplié par 16 constitue le pied romain, ou multiplié par 20, le remen).
0,5238095238, ou 11/21, est lié a la différence entre 22/7 et 55/21, les approximations pi et Phi au carré.
22/7 = 3,142857142857... et 55/21 = 2,619047604764067...
Ainsi, cette coudée royale égyptienne semble liée aux approximations de pi et Phi, qui à leur tour semblent assez heureusement liées entre elles, et à 99/70 pour la racine 2, et aux dimensions de la Grande Pyramide de Gizeh.
Quant à la hauteur de la Grande Pyramide, elle équivaut également à un astucieux 12⁴/100 x 70/99 mètres, et le côté de la base, étant la hauteur x 99/70 x 10/9, équivaut à 12⁴/90 mètres. 1 mètre est la diagonale d'un carré dont les côtés mesurent 500 x 21/55 x 21/55 x 55/144 pouces.
Le périmètre de la Grande Pyramide, si on la considérez comme de 921.715200 m ou 3024 pieds, est également de 1 760 x 0.5237 m, donc un côté est de (21/55)² x 99/70 x 4 x 11 x 1 000 pouces. La hauteur, étant dans un rapport de 11/7 au côté de la base, est alors très proche de (21/55)² x 99/70 x 4 x 7 x 1 000 = 5 773,090909 pouces (3 pouces de la valeur de Petrie). 5773.090909 est tres proche de 10 000 / √3.
La Grande Pyramide de Gizeh n'est qu'un des nombreux exemples dans le monde antique d'une métrologie sophistiquée au travail, qui implique des approximations de √2, Phi et pi non seulement parce que c'était le meilleur que les ingénieurs et les mathématiciens pouvaient trouver, mais parce que ces valeurs fonctionnaient si bien ensemble. En effet, il peut être utile de considérer les différentes unités et nombres importants que l'on trouve dans des sites comme la Grande Pyramide comme autant de combinaisons d'approximations de Phi et de racine 2, c'est-à-dire 55/21 et 21/55, 144/55 et 55/ 144 et 99/70. Donc : 54 comme 21/55 x 99/70 x 100, ou de 1134 comme 21/55 x 99/70 x 2100, ou 20,618181818 comme 21/55 x 21/55 x 99/70 x 100, et 20,625 comme 21/ 55 x 99/70 x 55/144 x 100, le remen en 55/144 x 21/55 x 100, et le pied saxon de 13,125" en 55/144 x 21/55 x 90, car toutes les unités semblent couler dans l'autre bien comme ça. Dans le system anglais, la mesure de 0,729166667 pouces est 21/55 x 55/144 x 1/2 = 210/288 = 70/96, et le yard anglais = 64/70 x 54 x 70/96 pouces, le pied = 70/96 x 18 x 64/70 = 12 pouces = 13,125 x 64/70, et le pouce anglais = 70/96 x 64/70 x 3/2 = 25/24 x 64 x 3/200.
Pourquoi y-a t'il 54 chiffres dans un mètre ? Parce que 54 est 21/55 x 99/70 x 100, donc phi au carré et racine 2 approximations multipliées ensemble, et par 100.
Et 39,375 / 500, qui est (55/144)³ x (3024/3025)² x 99/70 pouces, est également un dixième du chiffre 0,07875", soit 2 millimètres. Aussi 2 x 54 = 108, et 108 est un nombre très important dans diverses traditions anciennes, notamment en Inde. Il définit les relations entre la terre et le soleil (distance moyenne terre soleil x 108 = diamètre soleil), et la terre et la lune (distance moyenne terre lune x 108 = diamètre lune), et beaucoup d'autres choses comme les angles intérieurs d'un pentagone en degrés.
C'est donc une bonne façon de relier le mètre et le pouce : un carré avec des côtés de (55/144)³ x (3024/3025)² pouces aura une diagonale de 0,07875 pouces, soit 2 millimètres du mètre de 39,375 pouces. (multipliez par 8 000/8 001 pour obtenir la valeur moderne de 10 000/254 pouces)
(55/144)³ x (3024/3025)² est également 21/55 x 21/55 x 55/144, impliquant donc les deux formes d'approximations phi avec les nombres de Fibonacci, donc c'est peut-être une meilleure façon de visualiser les côtés de un carré dont la diagonale mesure 2 mm.
Et puis cette longueur de 2 millimètres (ou 0,07875") obtenue dans le carré multiplié par 100 et 144/55 devient la coudée royale égyptienne de 0.5237 m, ou 20,61818181818 pouces. Cette coudée multipliée par deux approximations de Phi, chacune étant de 55/21, donne exactement 10 x 99/70 pouces. Et donc on pourrait penser que le pouce dérive de la coudée royale égyptienne. On peut dire que le pied anglais dérive du mètre.
Le carré avec des côtés de 21/55 x 21/55 x 55/144 = 0,0556818181 pouces a une diagonale de 2 millimètres du mètre 39,375". Cette diagonale est ensuite multipliée par 100 et 144/55 pour créer l'ERC de 20,618181818". Ensuite, cela est à son tour multiplié par 55/21 deux fois pour créer une longueur de 100 x 99/70 pouces, donc cette longueur est la diagonale d'un carré de 100 pouces.
Peut-être l'incommensurabilité de la diagonale et des côtés d'un carré, ou le diamètre et la circonférence d'un cercle étaient-ils certes reconnus, mais parqués, et un système mis en place malgré cela qui était finalement assez étonnant et beau, où pi, Phi et √2, sont délibérément approchés pour devenir un seul langage numérique.
Là encore..., peut-être devrions-nous utiliser des irrationnels réels, et non des approximations, pour définir les relations entre les unités. Cela en soi fournirait un moyen intéressant de traiter l'incommensurabilité dans, par exemple, une forme géométrique telle que le cercle ou le carré, et permettrait un degré élevé de précision dans la mesure, en utilisant une unité pour un aspect de la forme, et une autre unité, qui serait lié à cette première unité par un nombre irrationnel, pour définir les autres aspects de la forme. Les seules approximations restantes seraient alors dans la façon dont la mesure était réellement marquée et lue ... ce qui finirait par aboutir à la même chose que l'approximation des irrationnels qui relient les unités. Mais allons avec l'idée. Par exemple, pour prendre le carré de l'image ci-dessus, si le côté du carré est de 100 pouces, multipliez par √2 et divisez par Phi² deux fois, et on obtient une coudée royale égyptienne de 20,63311339 pouces, et divisez à nouveau par √2 , on obtient un remen de 14,589814395 pouces. Reprendre cette coudée un peu grande , x 6 /pi donne un mètre de 39,4063438 pouces, également un peu grand. Finalement, nous devons simplement accepter que lorsque nous mesurer nous approchons. Peut-être la phrase célèbre de Protagoras sur l'homme étant la mesure de toutes choses fait référence à ce besoin d'approximation, car peu importe ce que nous mesurons physiquement (par opposition à théoriquement), cela se fera toujours d'une manière finie qui ne permet pas des chaînes infinies de décimales ou d'irrationnels.
Les racines carrées de trois et cinq, et pi apparaissentsouvent en géométrie, comme ci-dessous dans cette interprétation de la Grande Pyramide et du rectangle Station Stone à Stonehenge, ainsi que dans la construction de Phi dans un triangle de Pythagore (Jim Alison a inventé le terme "Phi-thagore" !).
Le Station Stone Rectangle a juste la bonne hauteur et la bonne largeur pour s'adapter aux deux spirales, comme ci-dessus, de sorte que si le premier côté, mesurant 1, est positionné le long de sa diagonale (ligne bleu foncé), alors son côté racine 17 (ligne turquoise) rencontrera le côté court opposé au point des deux tiers.