En continuité du post précédent sur une mesure de √2/√3 pouces proposée par David Kenworthy, j'aimerais approfondir la raison pour laquelle le pouce lui-même peut être une unité de base importante dans laquelle exprimer des relations géométriques. A la Grande Pyramide de Gizeh, le pouce mégalithique de David Kenworthy sert a exprimer une relation de √3.
Il existe de nombreuses interprétations des dimensions de la Grande Pyramide de Gizeh. Pourquoi serait-ce important de réléchir aux unités de mesure que les architectes de cet ancien édifice ont adopté? Trouver une théorie agréable d'unités de mesure précises utilisées dans des nombres et des proportions précis peut révéler quelque chose, bien que théoriquement, sur la civilisation en question, sur leur sophistication mathématique et technique, et sur la structure d'une société capable de les produire. Aucun texte documentant la conception ou la construction de la Grande Pyramide, contemporaine de sa construction, n'a survécu, comme on pourrait s'y attendre depuis si longtemps. Que les architectes aient utilisé une sorte de coudée, de pied, de pouce, de chiffre ou de mètre, ou toute autre unité, tout est, pour nous, une question d'interprétation de l'évidence des dimensions telles que nous les trouvons aujourd'hui.
Il y a ci-dessous quelques pages du travail de Petrie sur la mesure de la Grande Pyramide de Gizeh.
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La valeur de Petrie pour le côté moyen de la base de la pyramide est donc de 9068,8 pouces (230,34752 m), et la hauteur est de 5776 pouces (146,7104 m), avec une marge de 5 pouces (0,127 m) pour la base et de 7 pouces (0,1778 m) pour la hauteur. On sait depuis longtemps qu'il existe un rapport pi entre la base et la hauteur. En effet, 5776 x π / 2 = 9072,9196, ce qui est en étroite conformité avec les mesures de Petrie. L'utilisation de 22/7 pour π produit une correspondance encore plus proche, 9076,5714 pouces.
Une interprétation des dimensions de la Grande Pyramide que je trouve intrigante et potentiellement significative implique la racine carrée de trois. J'ai été surprise de constater que 10 000/√3 est très proche de la hauteur de cette pyramide en pouces anglais. 10 000/√3 équivaut en notation décimale à 5773,50269, ce qui correspond aux paramètres de Petrie pour la hauteur. En utilisant pi, le chiffre résultant pour le côté de base correspond également aux paramètres. 10 000/√3 x π / 2 = 9068,9968. C'est une interprétation possible de la conception des architectes : 10 000 pouces comme point de départ pour dériver une mesure de la hauteur, 10 000 divisé par la racine carrée de trois et multiplié par π/2 pour la base. Les unités impériales telles que le pouce et le pied ne sont pas nécessairement d'origine anglaise. Selon Mauss, le mètre est en fait 5/3 de deux mesures perses, la coudée Amman et la coudée Zyad, et la coudée royale perse est de 72/100 mètres, ou 25,92 pouces. Le nombre 25920 est significatif, étant 12 x 12 x 180, et se trouve dans les textes anciens. Cela en soi suggérerait que lorsqu'une unité importante peut être exprimée dans ce nombre de pouces, le pouce lui-même est important en tant qu'unité de base. Ce que Mauss appelle la coudée des architectes de l'Egypte est de 30,24 pouces (et 3024 est de 12 x 12 x 21). ce qui multiplié par trois cents donne 9072", proche de la mesure de Petrie pour la base moyenne de la Grande Pyramide.
Une façon d'interpréter une mesure de 10 000 pouces divisée par la racine carrée de trois pour la hauteur de la pyramide est d'envisager un cube, avec des côtés de 10 000 pouces. La diagonale de ce cube correspond à la hauteur de la Grande Pyramide.
Une autre façon est de penser que la racine carrée de trois fait partie d'un hexagone : la hauteur d'un hexagone est, avec des côtés de 1, la hauteur est de 1/√3.
Ou tout simplement, on peut imaginer un triangle équilatéral positionné par rapport à la Grande Pyramide.
Mythmatiques
Il existe plusieurs récits curieux de relations mathématiques entre des divinités majeures, incorporant la racine carrée de trois, qui peuvent être pertinents ici. Michael S. Schneider, dans son fabuleux livre A Beginner's Guide to Constructing the Universe, écrit sur la façon dont "les mythes anciens étaient représentés par des constructions géométriques. Avec une divinité comme numérateur et une autre comme dénominateur, Apollo / Zeus = 1060 / 612 = 1,732 = le racine carrée de trois, la relation des axes de la vesica piscis, le croisement des opposés par lesquels naît la gamme musicale. » (page 242). Il appelle cela "mythmatique", un grand mot. Il y a deux caractéristiques principales à cette approche. Premièrement, il ne s'agit pas d'arithmétique, en ce sens qu'il s'agit uniquement de proportion et de rapport. Deuxièmement, là où l'arithmétique entre en jeu, la gématrie aussi : les noms de ces divinités sont associés à certaines valeurs, en ce que chaque lettre porte un nombre, et ainsi le nom est une sorte de code mathématique (ou "mythmatique"). Michel Schneider écrit :
Dans le système alphanumérique de la gématrie, le nom Apollo a une valeur de 11061. Le nom Zeus, la divinité centrale de l'Olympe, a une valeur de 612. Le nom Hermès, le messager qui a inventé la lyre, a une valeur de 353. La relation d'Apollon à Zeus peut être exprimée mathématiquement comme 1060 / 612 = 1,732, la valeur de la racine carrée de trois (1,73215...) Et la relation entre Zeus et Hermès est pratiquement la même (612 / 353 = 1,7236) Racine trois aussi décrit cette relation entre les deux axes de la vesica piscis, qui est la proportion à l'intérieur du triangle. (5)
Michael Schneider a un diagramme que j'ai recréé ici démontrant le rapport racine carrée de trois entre "Apollon" et "Zeus".
Cela pourrait aussi être illustré ainsi:
Un autre chercheur a une approche légèrement différente mais le ratio racine carrée de trois est toujours le même entre ces deux divinités.
Daniel Gleason écrit :
À un niveau supérieur, Zeus, Apollon et Hermès étaient également des métaphores mathématiques. Le diagramme ci-dessous illustre comment l'orthographe grecque du nom de chaque dieu se traduit par une valeur de gematria qui peut être utilisée pour unir les dieux dans un seul diagramme de géométrie sacrée.
Zeus, Apollon, Hermès, Jésus, 8880 (server283.com)
Daniel Gleason a des valeurs légèrement différentes en termes de gématrie des noms, et comprend également un troisième dieu, Hermès.
Zeus : 612
Apollon : 1061
Hermès : 353
Cependant, alors que la gématrie est un domaine d'étude intéressant et quelque peu mystérieux, les valeurs numériques ne sont pas nécessaires pour correspondre à Apollon et Zeus, ou à toute autre divinité, pour que la relation entre ces divinités soit la racine carrée de trois. Ce "nombre", s'il s'agit d'un nombre, √3, ne peut être représenté avec précision par une fraction. Si des êtres divins vont être invoqués par rapport à la racine carrée de trois, ce doit être parce que nulle part dans notre monde terrestre un tel nombre existe réellement. Dans tous les schémas ci-dessus, nous pouvons bien sûr mesurer les côtés et les hauteurs des différentes formes mentionnées, même lorsque la racine carrée de trois les unit, mais nous les mesurons comme des approximations. Le concept de mythmatique de Michael Schneider propose une manière différente de donner un sens aux nombres irrationnels et à l'incommensurabilité. (6)
Associer des longueurs ou des valeurs numériques à des dieux était également une pratique égyptienne. En effet comme le remarquait Lepsius (1866, 18) les subdivisions de la coudée sont parfois inégales et les subdivisions du chiffre ne sont pas de même longueur. Par exemple, dans la coudée du musée de Turin, chaque chiffre est associé à un dieu dont le nom est écrit au-dessus.
Irrationalité
La racine carrée du rapport trois liée aux dieux du ciel et du soleil offre un aperçu intrigant sur une façon de penser qui semble assez étrange. Les dieux sont liés les uns aux autres par un nombre irrationnel. Curieusement, le fils, Apollon, est plus grand que le père, Zeus. Mais plus on y réfléchit, plus cela a de sens. Il n'y a pas de nombre qui puisse être élevé au carré pour faire trois. Pourtant, la racine carrée du rapport de trois peut être observée dans un triangle équilatéral, un hexagone ou une vesica piscis. Peut-être avons-nous tort de considérer la racine carrée de trois comme un nombre. Elle devrait plutôt passer par un concept, un concept mathématique, philosophique et peut-être mythique. On ne peut pas mesurer le côté du triangle équilatéral et sa hauteur précisément dans la même unité. Quand on passe de l'un à l'autre, on passe nécessairement d'un cadre à l'autre, on pourrait dire d'un plan à l'autre. Lorsque les chercheurs affirment que "les Anciens" ne connaissaient pas les racines carrées, que veulent-ils dire exactement ? Nous avons tendance à considérer les racines carrées comme les nombres qui apparaissent sur nos calculatrices lorsque nous saisissons le symbole de la racine carrée et un nombre. Nous avons tendance à penser que la racine carrée de trois est d'environ 1,73205, ou la racine carrée de deux d'environ 1,414, telles qu'elles apparaissent dans les manuels ou sur nos calculatrices. Cela nous amène peut-être à croire que la racine carrée d'un nombre est aussi nécessairement un nombre. Mais lorsqu'une racine carrée n'est pas un nombre entier, comme la racine carrée de quatre étant deux, nous nous appuyons sur des approximations telles que celles que nos calculatrices nous donnent. Nous pouvons même croire que nous "connaissons" la racine carrée de deux ou trois, car c'est ce que nous dit notre calculatrice. Mais sommes-nous en train de nous décevoir ? Quand on dit qu'il y a longtemps, même les mathématiciens les plus sophistiqués, comme ceux de la Grèce antique, de la Mésopotamie, de l'Inde et de l'Égypte, ne savaient pas qu'une racine carrée pouvait être irrationnelle, ou ne connaissaient pas la valeur de la racine carrée de deux ou trois, nous nous positionnons sur un terrain très fragile. Il n'y a pas de nombre qui, au carré, donne deux exactement. Il n'y a pas de nombre dont le carré donne trois. Nous pouvons mépriser nos ancêtres et nos prédécesseurs ou ne pas savoir quelque chose qui est fondamentalement inconnaissable. Cela met notre propre position philosophique et mathématique contemporaine dans une position potentiellement absurde. Nous prétendons que connaître la valeur des racines carrées de deux et de trois n'est pas un problème insurmontable, et procédons à la mesure des formes géométriques comme s'il était possible de le faire précisément en notation décimale, dans une seule unité pour toute la forme. Assurément, si nous reconnaissions que certaines racines carrées ne sont pas du tout des nombres, que les différentes parties d'une forme qui se rapportent les unes aux autres par ces rapports de racine carrée n'appartiennent pas au même système de mesure, nous pourrions commencer à réfléchir sur la signification de l'irrationalité un peu mieux et l'appliquer à nous-mêmes plutôt qu'à des nombres inexistants. Bien qu'il soit logique de dire que le côté d'un hexagone est de 1 pouce ou cm et que sa hauteur est d'environ 1,732 pouces ou cm, cela n'a aucun sens de dire qu'il mesure √3 pouces ou cm. Nous pourrions nous racheter si nous avions une unité de mesure différente pour le côté de celle pour la hauteur de cet hexagone. Cela s'applique également à un carré (côté et diagonale), à divers triangles (côtés, hauteur, hypoténuse), cercles (diamètre, circonférence) et polygones, où la racine carrée d'un nombre est un nombre dit "irrationnel", ou la où pi ou Phi, le nombre d'or, sont impliqués.
Platon
THÉÉTÈTE. Théodore nous écrivait quelque chose sur les racines, comme les racines de trois ou de cinq, montrant qu'elles sont incommensurables par l'unité : il a choisi d'autres exemples jusqu'à dix-sept — là il s'est arrêté. Or, comme il existe d'innombrables racines, l'idée nous est venue d'essayer de les inclure toutes sous un même nom ou une seule classe.
SOCRATE : Et avez-vous trouvé une telle classe ?
THÉÉTÈTE : Je pense que oui ; mais j'aimerais avoir votre avis.(2)
Dans le dialogue de Platon Théétète, il y a une discussion sur le problème des différentes parties d'une forme qui ne peuvent pas être mesurées dans la même unité. C'est le problème de l'incommensurabilité. Les côtés et la diagonale d'un carré sont liés par un rapport racine deux. Si l'un est mesuré dans une unité particulière, l'autre ne peut alors pas être exactement mesuré dans la même unité. La même chose s'appliquerait à un cercle, ou exemple, dont le diamètre et la circonférence sont liés par pi.
La discussion porte vraiment sur la connaissance en général, mais ce petit intermède donne un aperçu d'un problème souvent négligé : quelles sont les implications de l'irrationalité dans une forme géométrique en matière de mesure ? Cela semble être une situation impossible. Comment surmonter le problème de ne pas pouvoir mesurer avec précision les différentes parties de formes telles qu'un carré ou un cercle dans la même unité ?
Il est possible que le problème de l'incommensurabilité ait été en partie abordé (sinon résolu), à un moment donné dans un passé lointain, en concevant un système de mesure fournissant des unités différentes pour ces différentes parties en conflit métrologique. Cela nécessiterait un système à deux ou trois (ou plus) niveaux, et ces niveaux devraient être liés les uns aux autres par les rapports très irrationnels qui caractérisent un carré, un cercle ou toute autre forme qui encapsule des nombres irrationnels. Si tel était le cas, le rapport irrationnel entre les différentes parties du carré ou du cercle serait simplement transféré au rapport entre les différentes unités utilisées pour les mesurer. Cela peut sembler inutile, mais cela permettrait une mesure précise de toutes les parties d'un cercle ou d'un carré en nombres rationnels. Un nombre irrationnel de pièces à une mesure linéaire est problématique en termes de précision et de facilité de calcul, et peut-être semble-t-il également contraire à l'idéal de pouvoir tout mesurer dans le monde. Dans une certaine mesure, le problème de la mesure de ces pièces serait surmonté. Après tout, nous avons aujourd'hui différentes unités pour mesurer la longueur, la surface et le volume. Pourquoi n'avons-nous pas une unité différente pour mesurer les différentes longueurs d'un chiffre qui sont inconciliables par des rapports irrationnels ?
Théoriquement, les unités de Phi mètres ont du sens dans le cadre d'un système de métrologie ancienne. Par exemple, une coudée royale égyptienne de 20,618181818" n'est en réalité qu'un mètre de 39,375" (donc 54 chiffres égyptiens ou romains de 0,7291666667") multiplié par Phi au carré (enfin, sous sa forme de nombre de Fibonacci de 144/55) puis multiplié par 2 /10. Pourquoi auriez-vous besoin d'une telle unité ? Le mètre (ou une unité proche de notre mètre actuel) était-il utilisé pour mesurer une partie d'une forme, ou même dérivé d'une partie d'une forme, et le mètre Phi ou Royal Coudée égyptienne une autre partie de la même forme ?
L'unité égyptienne nommée remen est liée à la coudée royale égyptienne par la racine carrée de deux. Petrie, dans la Sagesse des Égyptiens (Londres, 1940X p. 71) a écrit :
La demi-diagonale de cette [coudée royale de 20,6 ins.] était le remen, une seconde unité de 14,6 ins., qui était divisée en 20 chiffres de 0,73 [ins.]. Ainsi, par l'utilisation de la diagonale, la moitié de n'importe quelle zone carrée pourrait être facilement formée et définie. Que cela a été pleinement reconnu est montré par la moitié de la superficie de 100 x 100 coudées étant également appelée remen en mesure de terre ... Le remen signifie un bras, ou la branche d'un arbre, et s'accorde avec l'avant-bras jusqu'à les jointures serrées, toujours un mode de mesure préféré en Égypte.
La question est également soulevée par l'excellent livre de Geoff Bath sur les cercles de pierres.(1) Geoff écrit sur les unités diamétrales et périmétriques. Cela signifie qu'une unité correspond au diamètre et une autre au périmètre d'un cercle. Mais si un cercle d'un mètre de diamètre a une circonférence de six coudées royales, pourquoi la coudée royale n'est-elle pas liée au mètre par pi au lieu de Phi au carré ? La coudée royale égyptienne de 20,618181818" mesure 39,375" x 2/10 x 2,618181818, ce qui correspond à Phi au carré approximé par les deux nombres de Fibonacci 144 et 55. Pi est approximativement Phi au carré, pi étant Phi au carré x 6/5, et cela fonctionne parfaitement avec les approximations du nombre de Fibonacci : 144/55 x 6/5 = 3,1418181818. Vous pouvez penser à la coudée royale égyptienne en fait comme un mètre carré Phi x 2/10.
Y a-t-il une unité de 1 mètre 39,375" x 2/10 x 3,1418181818 = 24,7418181818" ?
Donc en fait un cercle d'un diamètre de 1 mètre de 39,375" donne soit une circonférence de 6 coudées royales égyptiennes soit 5 unités de pi mètres.
Le dialogue de Platon continue :
THÉÉTÈTE Nous avons divisé tous les nombres en deux classes : ceux qui sont formés de facteurs égaux se multipliant les uns dans les autres, que nous avons comparés à des chiffres carrés et appelés nombres carrés ou équilatéraux ; c'était une classe.
SOCRATE : Très bien.
THEAETETUS: Les nombres intermédiaires, tels que trois et cinq, et tout autre nombre qui est composé de facteurs inégaux, soit d'un plus grand multiplié par un moins, soit d'un moins multiplié par un plus grand, et lorsqu'ils sont considérés comme un chiffre, est contenus dans des côtés inégaux ; nous avons comparé tout cela à des figures oblongues, et les avons appelées nombres oblongs.
SOCRATE : D'accord; et qu'est-ce qui a suivi?
THÉÉTÈTE : Les lignes, ou côtés, qui ont pour carrés des nombres plans équilatéraux, étaient appelées par nous longueurs ou grandeurs ; et les droites qui sont les racines (ou dont les carrés sont égaux) des nombres oblongs, étaient appelées puissances ou racines ; la raison de ce dernier nom étant qu'ils sont commensurables avec les premiers [c'est-à-dire avec les soi-disant longueurs ou grandeurs] non pas en mesure linéaire, mais en valeur du contenu superficiel de leurs carrés; et de même pour les solides. (Italiques de ma part)
SOCRATE : Excellent, mes garçons ; Je pense que vous justifiez pleinement les louanges de Théodore, et qu'il ne sera pas reconnu coupable de faux témoignage. (3)
Platon nous rappelle que si deux mesures de lignes dans une forme peuvent être liées par un rapport irrationnel, l'une d'entre elles peut être liée de manière rationnelle à l'aire de la forme. Platon nous rappelle que lorsqu'un nombre est appelé puissance ou racine, il est non seulement incommensurable avec une autre mesure linéaire, mais aussi commensurable avec l'aire. Peut-être pourrait-on mettre davantage l'accent sur les mesures de surface plutôt que sur les mesures linéaires pour comprendre la relation entre les différentes unités anciennes, et pourquoi les racines carrées ou pi pourraient définir leurs rapports.
Notes
Bath, G.J., 2021, Stone Circle Design and Measurement: Standard Units and Complex Geometries: 2: Stylised Plans and Analysis of over 300 Rings
Plato, Theatetus, translated Benjamin Jowell, The Internet Classics Archive | Theaetetus by Plato (mit.edu)
Ibid
Petrie, W.M. Flinders, 1883, The pyramids and temples of Gizeh, London : Field & Tuer ; New York : Scribner & Welford
5. Schneider, Michael, 1995, A Beginers Guide to Constructing the Universe, Harper Collins New York
6. Unfortunately, neither Schneider nor Gleason provide a source for their claims. I have not been able to find any reference to the square root of three in relation to any Greek god, in any of the ancient sources that I've looked at. However, this book may well have inspired both researchers: Jesus Christ, Sun of God: Ancient Cosmology and Early Christian Symbolism Paperback – Illustrated, 1 Oct. 1993, by David Fideler