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49. Marques Irrégulieres sur une Coudée



Récemment, j'ai lu un article très intéressant sur les divisions irrégulières sur les coudées égyptiennes, écrit par un certain George Sarton. Par coïncidence, un jour ou deux après, j'ai entendu ce nom dans un épisode de Stranger Things, alors je l'ai recherché.


George Sarton était un historien des sciences, en fait un fondateur de la discipline. De Belgique, lui et sa famille se sont échappés pendant la première guerre mondiale, d'abord en Angleterre, puis en Amérique. Son article de 1936 "Sur une curieuse subdivision de la coudée égyptienne" est court et discute des raisons possibles des divisions irrégulières sur diverses tiges de coudée égyptiennes.


Il commence par écrire :


Il existe de nombreuses publications sur la coudée égyptienne mais la plupart d'entre elles sont naturellement consacrées à la détermination de sa longueur et de ses relations possibles avec d'autres normes du monde antique. (1)

C'est tout à fait vrai. Les subdivisions, telles qu'elles apparaissent sur les coudées, sont souvent passées sous silence et ne correspondent pas nécessairement à la longueur d'un doigt idéal tel qu'il est généralement compris, généralement 0.0185165 m plus ou moins, dont seize forment un chiffre égyptien ou romain. pied, dont dix-huit forment un pied septentrional ou saxon. En fait, ce doigt est généralement compris comme un vingtième d'un remen, et non comme une subdivision régulière d'une coudée. Le remen lui-même est censé être lié à la coudée royale égyptienne au moyen de la racine carrée de deux. Ainsi, un carré avec un côté d'un remen aurait une diagonale mesurant une coudée royale égyptienne. George Sarton poursuit :

Selon d'autres exemples décrits par Lepsius (1866) et Schiapareli (1927), les coudées royales égyptiennes étaient divisées en sept palmes de quatre doigts chacune, mais le fait sur lequel je souhaite attirer l'attention est la très curieuse subdivision des doigts.
La première (en partant de la droite) est divisée en deux parties, la seconde en trois, et ainsi de suite, jusqu'à la quinzième qui est divisée en seize. Il y a un exemple mentionné par Lepsius (son n°5, p.15, 28), où le seizième doigt était divisé en dix-septièmes, mais cela semble avoir été le résultat d'une erreur. Dans d'autres exemples, les treize doigts restants ne sont pas subdivisés. Il est à noter que la longueur du doigt étant inférieure à 2 cm, la subdivision en seize parties atteint presque la limite pratique de visibilité.

Quel peut avoir été le but de cette étrange subdivision ? Pourquoi était-il nécessaire d'avoir des échelles prêtes en fractions de chiffre de la moitié au seizième? Ceci était probablement lié à l'intérêt exclusif égyptien pour les fractions de type 1/n. Leurs règles permettaient de déterminer la longueur réelle indiquée par une expression telle qu'une coudée plus un cinquième, un huitième et un quatorzième, mais le même objectif aurait pu être atteint d'une manière simple.

L'utilisation de telles règles pour les solutions graphiques de problèmes arithmétiques ne peut être tolérée car les divisions n'étaient pas assez précises. En effet comme le remarquait Lepsius (1866, 18) les subdivisions de la coudée sont parfois inégales et les doigts n'ont pas tous la même longueur. Dans l'exemple schématique sur sa plaque I, les seize premiers doigts sont 18,75 mm. de long, les huit suivants (du 17 au 24), longs de 17,19 mm, les quatre derniers, longs de 21,87 mm. En effet, diverses caractéristiques des coudées conservées dans nos musées suggèrent qu'il s'agissait d'objets destinés à un usage cérémoniel plutôt que pratique. Par exemple, dans la belle coudée du musée de Turin, chaque doigts est associé à un dieu dont le nom est écrit au-dessus. De plus, diverses coudées en pierre étaient trop lourdes et fragiles pour être pratiques. La subdivision des doigts en un nombre de parties augmentant une à une de deux à seize, avait donc plus probablement une importance théorique que pratique. Certains de leurs problèmes d'arithmétique, publiés ou inédits, éclaireront peut-être ce mystère. (2)


Il est vrai que les doigts sur une coudée égyptienne sont toujours subdivisés, de gauche à droite, en 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 parties, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ne puisse vraiment plus faire de subdivisions plus petites. Sarton a probablement raison de dire que cela se rapporte à la manière égyptienne d'utiliser les nombres. Encore. comme il le souligne, la qualité de l'exécution semble saper la tentative de précision. En effet, en 1822, Jomard, qui écrivit un petit livre sur cette coudée, fut lui aussi intrigué par l'irrégularité de la règle, écrivant :


A la première case répondent deux espaces ou divisions , marqués d'un trait ; à la seconde , trois divisions ; à la 3° , quatre ; à la 4 ° , 6 ; à la 5 ° , 7 ; à la 6° , 8 ; à la 7°, 9 , à la 8°, 10 ; à la 9°, 10 ; à la 10° , 12 ; à la 11°, 12 ; à la 12° , 13 ; à la 13° , 13 ; à la 14°, 14 ; et à la 15°, 16. (6)
La première case correspond à deux espaces ou divisions, marqués d'un trait ; dans la seconde, trois divisions ; au 3e, quatre; à 4°, 6 ; à 5°, 7 ; à 6°, 8 ; à 7°, 9, à 8°, 10 ; à 9°, 10 ; à 10°, 12 ; à 11°, 12 ; à 12°, 13 ; à 13°, 13 ; à 14°, 14 ; et à 15°, 16.

Dans un article plus récent intitulé "L'utilisation de la coudée "cérémoniale" comme outil de mesure. Une explication", par le P. Monnier, J.-P. Petit & Chr. Tardy, les auteurs arrivent à une conclusion similaire, sur le but des subdivisions progressivement plus petites sur les seize premiers chiffres, et leur apparence apparemment imprécise.


Les graduations et la nomenclature métrique associée sont les informations les plus régulièrement reproduites sur l'ensemble des coudées. Ces réglettes adoptent un système numérique qui consiste à diviser la coudée royale en 28 doigts et multiples de doigts.9 Les multiples comprennent la paume (4 doigts), le souffle de la main (5 doigts), le poing (6 doigts), la double paume (8 doigts), la petite envergure (12 doigts), la grande envergure (14 doigts), la coudée sacrée (16 doigts), la coudée remen (20 doigts), la petite coudée (24 doigts) et la coudée royale ou pharcoudée aonique (28 doigts). Enfin, les quinze derniers doigts de la partie graduée sont encore subdivisés successivement en 2, 3, 4, 5, ..., 14, et 16 parties égales. Toutes les subdivisions sont finement découpées et soulignées de peinture blanche, et sont mises en exposant par leurs fractions unitaires écrites en hiéroglyphes.
Les sous-multiples d'un doigt donnés dans les quinze dernières sections sont tous affichés avec leurs mesures exprimées en parties de doigt : r(A)-2, r(A)-3, r(A)-4, r(A)- 5, ..., r(A)-15, r(A)-16, qui sont généralement traduits dans notre langage moderne en fractions : 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... , 1/15, 1/16.( 3)

Les auteurs poursuivent en expliquant :


Le système numérique égyptien était fondamentalement différent dans son traitement des nombres inférieurs à un, car il utilisait des fractions unitaires pour décomposer des unités simples en parties égales. Une mesure inférieure à un doigt était alors exprimée en 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... jusqu'à 1/16e de doigt, ce qui signifie en fait que le doigt était divisé en 2, 3, 4, 5, ... ou 16 parts égales. Comme il était matériellement impossible de graduer toutes ces mesures dans une seule section, les Égyptiens inscrivaient les différentes subdivisions sur des divisions successives, les unes après les autres par ordre décroissant. (4)

Ils ont trouvé une explication pratique, impliquant une deuxième règle, pour ces subdivisions de plus en plus petites :


Si cette coudée est utilisée en conjonction avec une autre, ou avec une règle plus simple subdivisée uniquement en doigts entiers, les graduations associées révèlent une propriété remarquable. L'utilisateur doit d'abord positionner la coudée le long de l'objet à mesurer, puis tenir un côté de la règle contre le reste de la coudée. L'ensemble des lignes de chiffres sur cette même arête agissent alors comme des curseurs qui s'alignent sur la coudée, soit à une graduation existante, soit entre deux graduations (fig. 4). Dans ce dernier cas, le décalage périodique du "curseur" d'un doigt à l'autre sur la règle signifie qu'il finit par atteindre un endroit où il coïncide exactement avec l'une des subdivisions de la coudée fine. Une lecture doit être prise à cette coïncidence et ajoutée au nombre de chiffres entiers mesurés le long de l'objet.
L'expérimentation pratique montre que cette technique est incontestablement efficace, ce qui peut expliquer la présence et l'agencement des subdivisions. D'après notre reconstitution, une mesure précise aurait certainement nécessité l'utilisation de l'élément supplémentaire que l'on suppose être une règle ou une seconde coudée, mais on peut aussi imaginer qu'une tige ou un simple papyrus annoté pourrait tout aussi bien servir, avec l'avantage qu'ils pouvaient être confectionnés et balisés par les scribes ou artisans à l'aide de la coudée dont ils disposaient. Plusieurs scénarios similaires et plausibles peuvent être envisagés. (5)

Cette explication correspond bien aux mathématiques de l'Égypte ancienne, telles que nous les connaissons, selon lesquelles l'équivalent de notre notation décimale aurait été exprimé par 1/2, plus 1/3, plus 1/4, plus 1/5, etc. Cela rejoint également l'idée de George Sarton selon laquelle "Leurs dirigeants ont permis de déterminer la longueur réelle indiquée par une expression telle qu'une coudée plus un cinquième, un huitième et un quatorzième, mais le même objectif aurait pu être atteint d'une manière simple. . ", comme cité ci-dessus. Chaque chiffre peut être utilisé indépendamment des autres. Quant au manque de précision dans l'exécution des marquages ​​des coudées, les deux articles concluent que le but des coudées réelles qui ont survécu n'a peut-être été que symbolique ou cérémoniel. Alors que l'idée d'une règle de cérémonie est intrigante, peut-être même un peu déroutante, l'idée est avancée pour expliquer un aspect des coudees, mais pas vraiment discutée plus avant. Les coudées étaient-elles utilisées lors des cérémonies ? Ou étaient-elles simplement conçues pour combiner la mesure avec le divin, afin de surmonter le problème de l'incommensurabilité en géométrie ? L'irrégularité présente dans les coudées, ainsi que les noms des dieux, pourraient nous incliner à croire que tout cela n'était qu'un non-sens religieux.


Nous pourrions envisager la possibilité que nos règles d'aujourd'hui, avec leur seul niveau de marques régulièrement espacées, ou parfois deux niveaux, où dans le monde métrique et impérial coïncident, sembleraient ridiculement simplistes à un ancien égyptien. Un tel visiteur du passé pourrait croire qu'un système de mesure qui utilise les mêmes unités pour le diamètre et la circonférence d'un cercle, alors qu'évidemment les deux sections ne peuvent appartenir au même type d'unité, l'une étant reléguée à l'irrationalité par l'autre , absurde.


George Sarton fait également référence à un autre type d'inégalité dans les doigts, non seulement dans le nombre de leurs subdivisions mais dans leur longueur, ce qui semble être à dessein et non par erreur : "les subdivisions de la coudée sont parfois inégales et les chiffres ont pas tous de la même longueur". En fait, il y a un motif dans l'irrégularité, comme l'observe Lepsius, cité par Sarton : Sur sa planche I, « les seize premiers chiffres mesurent 18,75 mm de long, les huit suivants (du 17 au 24), 17,19 mm de long, le quatre derniers, 21,87 mm de long." Jomard observe également ceci :

"On observe que les 28 divisions ne sont pas égales entr'elles. Du côté gauche, les quatre premières sont plus grandes ; celles qui suivent sont plus petites." ("On observe que les 28 divisions ne sont pas égales entre elles. A gauche, les quatre premières sont plus grandes ; celles qui suivent sont plus petites").

Ces divisions sont-elles censées être utilisées indépendamment des autres ?

Alors que le livre de Lepsius sur le sujet, Die alt-aegyptische Elle und ihre Eintheilung, a été numérisé par Google et peut être lu gratuitement en ligne, il n'est pas traduit en anglais ou français, et il manque sa planche 1, qui est mentionnée par Sarton. Cette planche est censée être dépliée dans le livre physique, mais nous ne pouvons voir qu'un seul pli en ligne, montrant les premiers chiffres (comme la course de droite à gauche).




Jomard l'a dessiné (partiellement), aussi (il a omis les hiéroglyphes religieux) : (7)


Si ces longueurs irrégulières sont délibérées et raisonnablement précises, que signifient-elles ? J'ai recherché des rapports irrationnels qui pourraient les relier, suivant l'intuition que les noms des dieux au-dessus de chaque chiffre représentaient quelque chose d'ineffable mathématiquement, ou d'irrationnel, appartenant donc au domaine du divin. Il est possible que diverses racines carrées irrationnelles, pi et Phi au carré expliquent les divisions, selon le schéma ci-dessous :

La section la plus longue, bleue, est celle avec les subdivisions progressivement plus petites sur chaque doigt, de droite à gauche, (ces subdivisions ne sont pas représentées dans ce diagramme). Il mesure 300 mm de long. C'est exactement 7/4 de la longueur totale de la coudée. Si la longueur totale de la coudée était divisée en 28 parties égales, les doigtsde cette section seraient très proches de cette moyenne, en longueur. Les sections vertes et roses se combinent pour faire du reste un tiers de la coudée. La question est la suivante : pourquoi les doigts des sections verte et rose sont-ils plus grands et plus petits qu'une 28e partie moyenne de la longueur totale ? La section verte à elle seule correspond à un sixième de la longueur de la coudée. C'est surprenant puisque la coudée est en fait divisée non pas en six mais en sept palmes de quatre chiffres. Les six palmiers restants (la longueur totale de la coudée moins la section verte) représentent les cinq sixièmes de la coudée. Cette coudée semble être à la fois une coudée égyptienne ordinaire de 6 palmes, ou 24 chiffres, avec une palme égale à la section verte, et une coudée royale, de 7 palmes, ou 28 chiffres, avec 3 palmes égales aux sections verte et rose. combinés, et les 4 paumes restantes, égales à la section bleue. En utilisant les chiffres donnés par George Sarton en mm, (16 x 18,75) + (8 x 17,19) + (4 x 21,87) = 525. La section rose du milieu est (525 x 6/5) - (525 x 4/7 ), la section verte est ((525 x 6/5) - (525 x 4/7)) x 2/π = 87,5352187, et la section bleue est ((525 x 6/5) - (525 x 4/7 )) x (√5 + 3)/ 2 x 5/6 = 299,98306, ce qui n'est pas tout à fait 300 mais très proche.


La longueur totale de la coudée est proche de 525 mm. Cela pourrait être relié au nombre 7, car 7x6x5x4x3x2x1 = 5040, un nombre auquel Platon fait référence (dans la République), et 7x6x5x4x3 = 5250.


La précision de ces divisions a été une surprise et suggère que ces divisions sont délibérées. De plus, la précision d'un rapport pi entre les sections verte et rose était également surprenante et suggère une intention délibérée. Si la moitié de la section verte était le diamètre d'un cercle (c'est-à-dire deux doigts verts de 21,89 mm), la section rose correspondrait à la circonférence du cercle. Ceci est permis par la juxtaposition d'une coudée ordinaire de 6 palmes avec une coudée royale de 7 palmes. Habituellement, la coudée royale à 7 palmiers est considérée comme une palme plus longue que la coudée ordinaire à 6 palmes, mais peut-être pouvons-nous considérer ici les coudées ordinaires et royales simplement comme deux manières différentes de diviser la même longueur de coudée, dans ce cas de très près de 525 mm. Sept peut sembler un nombre surprenant de divisions pour un système de mesure, alors que six, dix ou douze auraient plus de sens. Mais peut-être que la raison pour laquelle il y en a sept ici, est que, combinée avec les six divisions sur exactement la même longueur, cette connexion pi peut être établie entre un palmier coudée égyptien régulier (un sixième de la longueur totale) et 3 palmes de la coudée royale, divisée en deux sections, l'une étant la palme ordinaire, et les deux autres étant les palmes royales. Sept est un nombre lunaire important bien sûr, il y a quatre semaines de sept jours dans un mois. Aussi 12 lunaisons sont une année lunaire, et moins les cinq jours fériés de l'année égyptienne, cela donne 350 jours. Deux de ces cycles font 700 jours. Par contre, le chiffre six est plus facilement associé au soleil, puisqu'il y a 6 x 6 x 10 = 360 jours, plus les cinq jours fériés, dans une année solaire. Juxtaposer sept divisions sur six divisions peut consister à équilibrer les cycles solaires et lunaires.


Sur le schéma, j'ai essayé de montrer que si la moitié de la palme verte, c'est-à-dire la palme ordinaire, correspondait au diamètre d'un cercle, alors la partie rose, c'est-à-dire les deux palmes de la coudée royale, correspondrait à la circonférence du cercle. J'ai été assez surprise de constater qu'il devrait y avoir une telle connexion permise par la juxtaposition de coudées ordinaires et royales, en particulier une palme ordinaire et deux palmes royales, dans le cadre de la même longueur totale. Prenez la section rose comme 137,492985 mm, divisée par pi, cela donne 43,765376 mm, soit la moitié de la zone verte, ou la moitié d'un palmier ordinaire. Le but de la section verte est-il de mesurer le diamètre ou le rayon d'un cercle, et la section rose de mesurer la circonférence ? La longueur de 21,88262 mm, un quart de la section verte, une palme ordinaire, peut également être liée à la section rose via la racine carrée de deux (environ) : 21,885 x √2 x 10 x 4/9 = 137,556


De plus, la section rose se rapporte au bleu via 5/6 et Phi au carré, environ. La présence de 5/6 avec Phi au carré et pi indique l'équivalence de ces deux rapports irrationnels via la fraction 5/6. Phi est dérivé de la racine carrée de cinq, tout comme Phi au carré, j'ai donc écrit Phi au carré comme (√5 + 3)/2 sur le diagramme ci-dessus. Phi au carré peut être approché comme π x 5/6, mais aussi comme 100 / (√2 x 27). La racine carrée de deux définit le rapport entre les côtés et les diagonales d'un carré. Peut-être agit-il comme une touche unique pour se déplacer entre les mesures sur une forme géométrique qui sont incommensurables, reliant alternativement la mesure du diamètre et de la circonférence sur un cercle, ou le côté et le diamètre d'un scarré ou parties d'un pentagone. Utilisées de la bonne manière, peut-être que les sections de la coudée qui correspondent à Phi au carré peuvent être utilisées de manière interchangeable pour mesurer les parties incommensurables d'une figure géométrique.


Je me suis demandée si les doigts verts indiqués comme 21,89 mm pourraient en fait être considérés plus précisément comme 21,885048627 mm, car 21,885048627 x π x 5/6 x (√5 + 3) = 300,0001133, et 300 mm représentent la section rose. La longueur totale de la coudée se rapproche alors de 525 mm, et une 28e partie de celle-ci devient proche d'un chiffre régulier dans la section rose. 525 millimètres se convertissent aujourd'hui en utilisant 39,3700787402 mètres en pouces, en 20,66929 pouces.


Les valeurs données pour ces longueurs par Lepsius sont naturellement en millimètres, et je ne m'attendais pas à ce que les valeurs de cette unité correspondent à quelque chose d'intéressant en elles-memes. Je cherchais vraiment juste des ratios pour lier les paumes et les chiffres. Le lien théorique entre le mètre et la coudée est cependant bien connu, car une coudée est souvent considérée comme étant π /6 = 0,523599 mètres, ou on peut l'appeler 20 x √2 / 54 = 0,523783 mètres, (c'est-à-dire 20,614125 et 20,62137 pouces respectivement). La longueur totale de cette coudée particulière est donnée à 524,98 mm, ce qui est assez proche de ces valeurs, mais si la théorie de la longueur totale de la coudée royale égyptienne relative à pi et à la racine carrée de deux va convaincre dans ce cas particulier cas, alors nous devrions supposer que le mètre que les anciens Égyptiens utilisaient, s'ils l'utilisaient en fait, était très légèrement plus court, peut-être autour de la marque de 39,265 pouces.


En tout cas, je ne m'attendais pas à trouver qu'une valeur proche de celle que donne Lepsius pour ce que j'ai appelé la section rose, c'est-à-dire deux palmes royales, soit 7 000 / (√2 x 36) = 137,49299 millimètres. Lepsius donne 137,52 mm. Ce 36 pourrait bien correspondre aux 300 mm de la section bleue la plus longue, multipliés par 6/5, ou aux degrés d'un cercle. Le 21,88262 mm , très proche de la longueur donnée par Lepsius pour la section verte, un palmier ordinaire, est de 7 000 / (√2 x π x 72). par conséquent les 300 mm de la section la plus longue, quatre palmes royaux, sont Phi² x 5/6 x 7 000 / (√2 x 360). De plus, le nombre sept lui-même, qui est le nombre de palmes dans la coudée royale égyptienne, peut être approché par : (21,883864 x 2 x π )² x Phi² x √2 / 10 000. Si la section rose (deux palmes royales), est la circonférence du cercle dont le diamètre est la moitié de la section verte, alors cette même circonférence peut aussi être considérée comme égale à deux côtés d'un carré, dont la diagonale mesure 7 000 / 36 millimètres. Et donc la section rose pourrait être considérée, en millimètres, comme 21,883864² x π ² x Phi² x 4 / 360 = 137,49012, soit la moitié de la section verte multipliée par pi et Phi divisé par 6, dont le résultat est au carré et divisé par 10.


Lepsius décrit les dieux auxquels chaque chiffre semble être dédié :


Auf der Oberseite der Ellen no 1, 2 5 laufft zu oberst eine Reihe von Gotternamen hin, 28 an Zahl, den 28 Fingerbreiten der Elle entsprechund und wie diese durch Linien von einander getrennt. Es beginnen auf der Turiner Elle (no.1) 10 Gotter der ersten Ordnung, von denem jedoch der dritte (Ka oder Xent) fast unbekannt ist. Dir ordnung ist, bezeichnend fur den Fundort, die Memphitische, nicht die Thebanische, indem sie mit Ra, nich mit Mantu und Atmu beginnt, namlich : Ra, Su, Ka, Seb, Nut, Osiris, Isis, Set, Nephthys und Horus. Darauf folgen die 4 dem Osiriskreise zugehorigen Gotter Amset, Hapi, Kebhsenuf undTumutef.
Die andere Halfte der Elle beginnt mit Thoth, dem ersten Gott der zweiten Gotterordnung und dann ffolgt eine Reihe von Gotternm, die grossstentheils sehr wenig bekannt sind, asl vorlexter aber noch der Pan von Oberagypten. Auff der Elle des Muia ist, offenbar durch eine Unauffmerksamkeit des Schreibers, der Gott Seb ausgelassen, so dass jetzt die Nut mit dem Gott Ka verbunden erscheint. Di dadurch enstandene Lucke hat eine Verschibung der ffolgenden Namen veranlasst, bis zum siebzehnten Gott, hinter welchem des zwanzigste Gott unrichtig eingeschoben ist, obgleich er an seiner richtigen Stelle noch einmal erscheint. Asserdem ist der Name des 17. Gottes unrichtig gescreiben, statt wie aus der Schreibung der elle no 1 und der Elle no. 5 hervorgeht ; und der des 22ten statt.

Sur le dessus des coudées no. 1, 2, 5 court une rangée de noms de dieux, au nombre de 28, correspondant aux 28 largeurs de doigt de la coudée et comme ceux-ci séparés les uns des autres par des lignes. 10 dieux du premier ordre commencent sur la coudée de Turin (n°1), dont le troisième (Ka ou Xent) est quasiment inconnu. L'ordre est, indicatif du lieu où il a été trouvé, le Memphite, et non le Thébain, en ce qu'il commence par Ra, et non par Mantu et Atmu, à savoir : Ra, Su, Ka, Seb, Nut, Osiris, Isis, Set , Nephthys et Horus. Viennent ensuite les 4 dieux Amset, Hapi, Kebhsenuf et Tumutef, qui appartiennent au cercle d'Osiris.
L'autre moitié de la coudée commence par Thot, le premier dieu du deuxième ordre de dieux, puis suit une série de dieux, la plupartqui sont très peu connus, mais à titre d'exemple, le Pan de la Haute-Egypte. Sur la coudée de Muia, le dieu Seb est omis, apparemment en raison de l'inattention du scribe, de sorte que la Nout apparaît maintenant liée au dieu Ka. L'écart qui en résulte a entraîné le déplacement des noms suivants, jusqu'au dix-septième dieu, après quoi le vingtième dieu est inséré de manière incorrecte, bien qu'il réapparaisse à sa place correcte. De plus, le nom du 17ème dieu est mal orthographié au lieu de la coudée no. 1 et coudée no. 5, comme on peut le voir à partir de l'orthographe ; et celui du 22.

Jomard, dans son analyse de cette coudée, réfléchit également sur la présence des dieux, un pour chaque doigt, et écrit :


Il ne serait pas difficile de montrer dans les hiéroglyphes qui renverraient les cases de la première bande , des caractères qui correspondraient aux divers dieux du pays, au Soleil , à Osiris , Isis , Horus , Thoth , etc. , ce qui porterait à croire que les 28 doigts de la coudée répondaient eux - mêmes à autant de personnages religieux ou mythologiques, dont les noms avaient été imposés aux vingt - huit jours du mois lunaire. (...)
On ne doit pas être étonné de trouver ici les images des dieux, appliquées à la fois aux jours du mois, et aux divisions de la mesure : chez un peuple aussi attaché à son culte, la religion se mêlait à tout. Ici on voit le dieu ou roi Soleil répondant à la première case , Osiris à la septième , Isis à la huitième , Horus à la dixième , Thoth à la quinzième , etc .; mais il faut se souvenir que les nombres gravés au-dessous sont plus forts d'une unité que rang de la case correspondante.

(8)

Il ne serait pas difficile de faire apparaître dans les hiéroglyphes qui remplissent les cases de la première bande, des caractères qui correspondent aux différents dieux du pays, au Soleil, à Osiris, Isis, Horus, Thoth, etc., ce qui conduirait un à croire que les 28 doigts de la coudée correspondaient eux-mêmes à autant de personnages religieux ou mythologiques, dont les noms avaient été imposés aux vingt-huit jours du mois lunaire.

(...)

Il ne faut pas s'étonner de trouver ici les images des dieux, appliquées à la fois aux jours du mois, et aux divisions de la mesure : chez un peuple si attaché à son culte, la religion se mêlait à tout. Ici nous voyons le Dieu ou Roi Soleil répondre au premier carré, Osiris au septième, Isis au huitième, Horus au dixième, Thot au quinzième, etc.; mais il faut se rappeler que les chiffres gravés ci-dessous sont supérieurs d'une unité au rang de la case correspondante.

La connexion lunaire, par le biais du nombre 28, semble très plausible. Cependant, les 28 chiffres sur cette coudée semblent être superposés à une autre division de 24 chiffres, bien que 28 soit bien sûr ce que montrent les marques. Peut-être devrions-nous penser aux divisions comme appartenant à la fois aux coudées égyptiennes ordinaires et royales, donc à la fois 24 et 28 chiffres. C'est ce que nous dit la plus petite section du schéma, c'est un sixième de la longueur totale. la section bleue est quatre paumes de la coudée royale, tandis que la section rose n'est ni une paume de la coudée royale ni la coudée ordinaire. C'est tout autre chose, ni royal ni ordinaire. Avec la section verte, oui, cela devient trois palmes de la coudée royale, mais avec la section bleue, cela devient cinq palmes sur la coudée ordinaire. Son rôle est comme une machine mathématique à travers laquelle divers rapports irrationnels peuvent être traités, la section d'une forme y étant introduite et l'autre section irrationnelle obtenue, sans avoir recours à des notions de longueurs irrationnelles, uniquement des rapports irrationnels. De cette façon, peut-être était-il envisagé que le problème de l'incommensurabilité en géométrie puisse être surmonté, bien que de manière appliquée, supervisé par des divinités en charge des problèmes théoriques. Peut-être pourrais-je mesurer le rayon ou le diamètre d'un cercle dans les unités fournies par la section verte, ou une paume ordinaire (un sixième de la coudée), et la circonférence dans les unités fournies par la section rose. Cela pourrait être appelé unités diamétrales et périmétriques, deux termes inventés par Geoff Bath. Ou la section rose pourrait être utilisée pour mesurer les côtés d'un carré, et la section bleue sa diagonale, ou la section rose une partie d'un pentagone, et la section bleue l'autre. La racine carrée de trois ne semble pas être couverte ici. Aussi, le rôle du millimètre lui-même est curieux, mais il semble pertinent dans la mesure où la section rose est liée à une longueur de 7 000 mm (la section rose mesure 7 000 / (36 x √2) = 137,492985 mm, et la section bleue mesurant 300 mm. La présence du mètre nous ramène potentiellement au chiffre égyptien de 0,7291666667 pouces, qui peut être considéré comme 150 / 8 100 = 0,0185185185 mètres en utilisant la conversion de 39,375 pouces, un chiffre avancé par Letronne, qui a également avancé un stade possible de 185,185 mètres (9) Il y a 378 chiffres de 0,0185185 mètres dans 7 mètres.


J'ai pensé qu'une explication possible de la présence de marques irrégulières sur la coudée, au moins sur cet exemple, est de garder séparées les différentes sections de la règle qui appartiennent aux différentes sections d'une forme géométrique qui sont en rapport irrationnel avec l'un l'autre. Même si lorsqu'on mesure des choses en pratique, peu importe si l'on ne se préoccupe pas beaucoup du problème de l'incommensuarité en géométrie, la théorie de la mesure reste problématique. Il serait logique de mesurer le diamètre du cercle dans une unité bien distincte de l'unité qui sert à mesurer sa circonférence, par exemple, et de transférer le problème de l'irrationalité de l'acte de mesure au système de mesure lui-même, et sa conception. Mais alors pourquoi ne pas simplement avoir une règle qui ressemble plus à ça ? Quoique... ce serait bien sur absurde.



On pourrait simplement se tenir aux irrationnels les plus courants et les subdiviser ou les multiplier à notre guise. La coudée se compose de 6 unités de longueur irrégulière, dont l'une chevauche deux autres, correspondant aux trois racines carrées irrationnelles les plus courantes, pi et Phi, et d'une unité de base contre laquelle toutes les autres peuvent être utilisées. Curieusement, le nombre 7 est présent ici : la longueur totale, quelle que soit l'unité de mesure de l'unité de base, est proche de 200 / (7 x 3). Il convient également de mentionner que (1 + √2 + √3 + √5 + π) x 39,375 = 375,0045, qui est la somme des trois premières racines carrées irrationnelles, pi et 1, prise comme une longueur en pouces, et convertie en mètres en utilisant 39,375".



Ce que la règle irrationelle ci-dessus n'a pas, ce sont les chiffres symboliquement importants pour la lune : 7, 4, 28, et les chiffres de l'œil d'Horus tels que 4, 8, 16, 30, etc. posé sur 6 divisions de palmiers, avec la section centrale (en rose dans mon schéma) pour relier les deux. La raison de ces divisions superposées en 6 et 7 sections pourrait-elle être reliée à Phi au carré ? En prenant la longueur de la coudée comme simplement 10 unités, la section rose est 10 x (5/6 - 4/7) = 55/21 , ou une approximation du nombre de Fibonacci Phi au carré. Et ceci est confirmé par 525 x 55/21 x 1/10 = 137,5, les longueurs en millimètres de la coudée et de la section rose. Ainsi, ces divisions superposées par 6 et 7 sur la même longueur semblent produire la section médiane (rose) étant de 55/21 par rapport à la longueur totale de la coudée, soit 10.


La section médiane rose de la tige est (525 x 5/6) - (525 x 4/7), la section verte est ((525 x 5/6) - (525 x 4/7)) x 2/π = 87,5352187, et la section bleue est ((525 x 5/6) - (525 x 4/7)) x (√5 + 3)/ 2 x 5/6 = 299,98306. La superposition des divisions de même longueur par 6 et 7 parties égales crée des résultats intrigants : par exemple ((5/6) - (4/7)) multiplié par 10 est Phi au carré, ou du moins l'approximation de celui-ci produit par 55/21, ou multiplié par 2 donne la coudée royale égyptienne en mètres, ou multiplié par 12 donne l'approximation 22/7 pi, ou divisé par 10 et l'approximation 99/70 de la racine carrée de deux donne le chiffre en cm, ou multiplié par 54/10 donne 99/70, ou multiplié par 56 donne l'unité d'éclipse de David Kenworthy 14,6666667.



Je pense que les divisions par 6 et 7 superposées offrent un moyen pratique de produire Phi au carré, et toutes sortes de choses qui en découlent comme des approximations de pi, la racine carrée de deux, et bien sûr la coudée royale de 0.523875 m.


Si on doublait les cases roses représentant Phi², puis on supprimait trois cases roses, on obtiendrait la racine carrée de cinq, ou une approximation de celle-ci, comme Phi² - 3 = √5. Ou si on prend cette longueur de 2 Phi² et la transforme en cercle, le diamètre serait de 100 shusi ou 90 doigts de long.


En prenant la longueur de la coudée comme simplement 10 unités, la section rose est 10 x (5/6 - 4/7) = 55/21 , ou une approximation du nombre de Fibonacci Phi au carré. Ainsi, ces divisions superposées par 6 et 7 sur la même longueur semblent équivaloir à la section médiane (rose) étant de 55/21 par rapport à la longueur totale de la coudée, soit 10.


Il y a beaucoup de nombres métrologiques familiers qui peuvent être produits en combinant des sixièmes et des septièmes.


((1/6) + (1/7)) x 2 = 0,619047619, proche de phi

((1/7)+2(1/6)) x 21 = 10

((1/7)+3(1/6)) x 14 = 9

((1/7)+6(1/6)) x 7 = 8

((1/7)-(1/6)) x 7 = 36

((1/7)+4(1/6)) x 42 = 34

((1/7)+7(1/6)) x 42 = 55

((1/7)+8(1/6)) x 20 = 29,5238095

((1/7)+9(1/6)) x 2 = (8(1/7)+(1/6)) x 12 = 3,142857 = 22 / 7

(9(1/7)+(1/6)) x 2 = 1,6190476 = 34/21

((1/6)-(1/7)) x 3 = -0,261904762

((1/7)-(1/6)) x 4 = - 0,5238095

0,5238095 × 39,375 = 20,625

1 - (1/6) = 0,833333 Verge mégalithique en mètres

(1 - (1/6)) x 39,375 = 32,8125 Verge mégalithique en pouces

(1 - (1/6)) / 45 = 0,0185185185 Chiffre en mètres

0,0185185185 × 39,375 = 0,72916667

20 (1 - (1/6) / 45 = 14,583333

1 - (1/6) = 5 / 6

12 (1/6) = 10

14 (1 - (1/6)) = 11,666667 pied romain

16 x 3 ((1 - (1/6) = 40

9/10 x (1 - (1/6)) x 39,375 = 29,53125 Lunaison en jours environ

18 x (1 - 3(1/6)) = 354.375 année lunaire environ

4/10 x (1 - (1/6) x 39,375 = 13,125 = 1/2 x (1 - (1/6) x 39,375 pied nord / sumérien en pouces

2/100 x (1 - (1/6) x 39,375 = 0,65625 = 25/1000 x ( 1 - 2(1/6) x 39,375) Shusi en pouces

22/700 x (1 - 2(1/6)) x 39,375 = 0,825

22/10 x (1 - 2(1/6)) x 39,375 = 57,75 zapal maya, et hauteur de GP en pouces

24 × (1 - (1/6)) × 39,375 = 630

6 x (1 - 2(1/6)) x 39,375 = 157,5

5 x (1 - 5(1/6) x 39,375 = 32,8125

22/7 x (1- 5(1/6)) x 39,375 = 20,625



Aujourd'hui, nous apprécions le coté séculaire de la vie, et nous n'avons pas tendance à affirmer la nature divine des choses dans notre vie de tous les jours, comme le faisaient les anciens Égyptiens. L'incorporation de ces chiffres symboliques peut avoir été très importante. En outre, il y a probablement beaucoup plus d'éléments tissés dans les marques irrégulières de la coudée qui se combinent pour créer quelque chose d'assez complexe.


Avec la présence des dieux au-dessus des chiffres, la coudée offre peut-être une méthode pratique mais aussi théoriquement bien supérieure pour mesurer les sections irrationnelles des formes géométriques que nous ne pouvons gérer aujourd'hui. La présence de dieux sur chaque division est-elle une sorte de code pour ce que nous appelons le nombre irrationnel ? La présence de pi et de Phi au carré, et des racines carrées de deux et de cinq, comme rapports dans les marques de la coudée est très curieuse, surtout quand tant d'unités de mesure anciennes et moins anciennes se rapportent les unes aux autres par des rapports irrationnels. L'un des aspects de cette coudée consiste-t-il à convertir des rapports irrationnels, qui appartiennent à un autre monde, en simples fractions exploitables qui peuvent être utilisées, dans un processus supervisé par les dieux, comme un filtre à travers lequel le divin s'écoule et d'où émane quelque chose que les humains peuvent comprendre et utiliser. Si on entend par magie non seulement le spectacle ou la ruse, mais aussi la façon dont le divin pourrait se mêler au quotidien, alors cette coudée est une baguette magique. On peut imaginer des esprits ou des divinités surveillent la transformation de rapports irrationnels, qui ne peuvent pas être exprimés de manière adéquate, dans n'importe quel langage mathématique, en simples fractions exploitables, prêtes à être utilisées par de simples humains, dans ce monde. De plus, Phi et Phi au carré sont présents, de manière appliquée et approximative, dans de nombreuses formes de vie, qu'il s'agisse de la flore ou de la faune. La transition de l'essence pure, abstraite et irrationnelle du nombre d'or, que nous ne pourrons jamais connaître, à une expression dans le monde dans lequel nous vivons, dans les arbres, les animaux et en nous-mêmes, est presque aussi mystérieuse que l'apparition perpétuelle de la vie elle-même, même pour l'esprit séculier. Cette coudée égyptienne est donc prise dans la question de l'existence, comment et pourquoi il y a quelque chose plutôt que rien.


Les coudées sont souvent décrites comme cérémonielles, vraisemblablement pour tenter d'expliquer leur utilisation, même si elles ne semblent pas très utiles, ou même précisément parce qu'elles semblent peu pratiques. Certains contiennent des erreurs, de légères inexactitudes dans les marquages, ou ils sont tout simplement trop lourds. Bien qu'ils semblent n'avoir aucun but pratique, l'interprétation de ces tiges se concentre toujours sur l'utilisation. Alors que les coudées ont bien pu être offertes en cadeau lors d'une cérémonie, ou exposées lors d'événements importants, peut-être devrions-nous nous éloigner du concept de cérémonial pour les expliquer, et penser plutôt en termes de symbolisme, le symbolisme de la vie en particulier, et les forces qui le confèrent. Nous pouvons aussi penser en termes de magie, comme une tentative par les esprits humains de traiter ce qu'ils ont identifié comme nécessairement incompréhensible, comme comment c'est la vie apparaît spontanément tout autour.und us, ou comme la véritable essence du nombre d'or, ou le rapport entre le diamètre et la circonférence d'un cercle, ou le rapport entre les côtés et la diagonale et un carré. Les préoccupations métriques et géométriques sont toutes liées à des questions métaphysiques et épistémologiques. Ainsi la mesure, en tant qu'outil d'étude du monde, et par extension, cette coudée, et tous les exemples de mesure appliquée, sont inextricablement liés à ces questions. Parce qu'elle relie des éléments de mesure et de métaphysique, de géométrie et de vie, la coudée est à bien des égards un objet sacré. En quoi est-ce magique ?


Lorsque la magie est utilisée dans les histoires pour enfants, elle n'a aucune des connotations négatives que le mot «magie» porte chez les personnes sérieuses qui croient en la religion ou la science, et qui peuvent être sujettes à des expressions de sarcasme, de cynisme ou à des avertissements aux autres contre la crédulité. La magie a plusieurs significations. Parfois, il décrit une expérience merveilleuse, comme une journée à Venise. Ou il s'agit du surnaturel et des efforts pour le manipuler, comme nous le voyons dans les histoires, ou dans la façon dont les charlatans pourraient vouloir tromper les autres. Ou tout simplement il s'agit de ce que nous ne pouvons pas expliquer, quand quelque chose se passe « comme par magie ». Je pense que si nous pouvons accepter le concept de magie dans ce dernier sens, simplement pour décrire quelque chose qui nous est difficile à saisir, nous pouvons l'utiliser pour décrire la vie, voire remplacer le mot «irrationnel» par rapport aux ratios. Le mot « magie » peut effectivement être utilisé pour décrire des choses qui dépassent la compréhension rationnelle, peut-être même au-delà de la portée de la connaissance humaine.


La petite mais insurmontable différence entre les approximations de Phi² telles que 55/21 et Phi² lui-même est comme l'écart entre les mains d'Adam et de Dieu, sur le plafond de la Chapelle Sixtine.

The Creation of Adam by Michelangelo


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Notes


1. Sarton, George. “On a Curious Subdivision of the Egyptian Cubit.” Isis, vol. 25, no. 2, 1936, pp. 399–402. JSTOR, http://www.jstor.org/stable/225377. Accessed 19 Jul. 2022.

2. Ibid

3. Monnier, Fr., Petit, J.-P., & Tardy, Chr., 2016, "The use of the ‘ceremonial’ cubit rod as a measuring tool. An explanation.", The Journal of Ancient Egyptian Architecture vol. 1, 2016, JAEA 1 - Monnier, Petit & Tardy - The Journal of Ancient Egyptian Architecture (egyptian-architecture.com)

4. Ibid

5. Ibid

6. Jomard, E.f., 1822, Description d'un étalon métrique, orné d'hiéroglyphes, découvert dans les ruines de Memphis

7. Ibid

8. Ibid

9. See Letronne, Antoine Jean, 1851, Recherches critiques, historiques et géographiques sur les fragments d'Héron d'Alexandrie, ou du système métrique égyptien, https://play.google.com/books/reader?id=8OPfAAAAMAAJ&pg=GBS.PR2&hl=en



Bibliographie


Bath, Geoff, 2021, Stone Circle Design and Measurement: Standard Units and Complex Geometries: 2: Stylised Plans and Analysis of over 300 Rings


Jomard, E.f., 1822, Description d'un étalon métrique, orné d'hiéroglyphes, découvert dans les ruines de Memphis


Lepsius, Richard, 1865, Druckerei der Königlichen Akademie der Wissenschaften,

Google Books, from the collections of Oxford University, pp. 20 - 21


Letronne, Antoine Jean, 1851, Recherches critiques, historiques et géographiques sur les fragments d'Héron d'Alexandrie, ou du système métrique égyptien, https://play.google.com/books/reader?id=8OPfAAAAMAAJ&pg=GBS.PR2&hl=en


Monnier, Fr., Petit, J.-P., & Tardy, Chr., 2016, "The use of the ‘ceremonial’ cubit rod as a measuring tool. An explanation.", The Journal of Ancient Egyptian Architecture vol. 1, 2016, JAEA 1 - Monnier, Petit & Tardy - The Journal of Ancient Egyptian Architecture (egyptian-architecture.com)


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Scott, Nora E. “Egyptian Cubit Rods.” The Metropolitan Museum of Art Bulletin, vol. 1, no. 1, 1942, pp. 70–75. JSTOR, https://doi.org/10.2307/3257092. Accessed 13 Jul. 2022.

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