Un article d'une édition de 1953 de la Mathematical Gazette prend la forme d'un dialogue entre père et fils. L'article est écrit par un "Peter Simple", évidemment un pseudonyme, car le nom est donné entre guillemets. Le nom est vraisemblablement une excuse pour énoncer quelque chose de très facile à saisir, mais l'article est énigmatique. Le caractère soi-disant simple du problème est encore souligné par l'article prenant la forme d'un dialogue entre un père et son fils. Pourtant, en faisant des tout premiers mots après le titre une citation de Cicéron, et en latin de surcroît, l'auteur, quel qu'il soit, prend soin de ne pas laisser le lecteur rejeter ses efforts comme simplistes. L'article décrit les rapports entre trois mesures différentes, dans le système impérial, invoquant la géométrie du carré, mais remet également en question la terminologie utilisée en métrologie historique, qui peut être assez déroutante.
Des Carrés
Ce que l'auteur souligne dans l'article est que 198 pouces anglais, ce qui est généralement donné comme la longueur d'un rod, d'une perche ou d'un pole anglais, n'est pas un chiffer rond comme 200 pouces, pour une bonne raison. 198 est 140 x 99/70, cette dernière fraction étant une approximation courante de la racine carrée de deux. La racine carrée de deux est le rapport entre le côté et la diagonale d'un carré. De plus, l'auteur fait une distinction entre le rod, le pole el la perche anglais, plutôt que de les considérer comme des équivalents comme c'est habituellement le cas.
Pour Peter Simple, tout tourne autour du carré, et il fait remarquer que le carré de 140, multiplié par 2, est 39200, et le carré de 198 est 39204. Ainsi, une longueur de 140", qui est le rod anglais pour lui, multiplié par 99/70, donne 198", qui est son pôle. Et la perche, multipliée par 99/70, donne (a peu de chose pres) 280", qui est sa perche. Donc le pole est la diagonale d'un carré avec les côtés d'un rod, et la perche est la diagonale du carré avec les côtés d'un pole. De plus, la moitié d'un rod étant de 70", et la moitié d'un pôle étant de 99", l'approximation même de la racine carrée de deux, comme 99/70, semble être présente.
Un rod anglais mesure 16,5 pieds ou 198 pouces, soit très près de 5 mètres (ce serait 5 mètres exactement avec un 'mètre' de 39,6 pouces, c'est-à-dire 54 x 0.018266667 = 1.00584 m). C'est ce qui est donné dans les encyclopédies, et c'est aussi ce que donne Peter Simple. L'auteur se réfère à une demi-perche comme un "staff" de 70 pouces ou 1.778 m, "qui était probablement la mesure de l'ancien furlong". Un furlong anglais est généralement défini comme 72 pouces ou 1.8288 m.
Le système invoqué par l'auteur rappelle la manière de doubler l'aire d'un carré, telle qu'elle est esquissée dans le Ménon de Platon. Il s'agit simplement de prendre la diagonale d'un carré a fin de former le côté du plus grand carré suivant.
Il existe une autre curieuse collection de mesures reliées par des carrés. Il est égyptien, et la racine carrée de deux reliant les deux premiers a été trouvée par Flinders Petrie. C'est le rapport entre le remen (de 0.370332 ou 0.370416667 m) et la coudée royale (de 0.523701818 m, ou 0.52363636m, ou 0.523809 m, ou 0.523875 m) La troisième mesure de ce trio lié par la racine carrée de deux a également été trouvée par Flinders Petrie , comme indiqué sur la page web de Jim Alison. Citant Flinders Petrie, Jim Alison écrit :
Petrie a déclaré : « Que les Égyptiens aient traité le fil à plomb bien connu comme un pendule n'est indiqué par aucun vestige, bien que le fil à plomb ait été couramment utilisé depuis les temps les plus reculés. Mais le fait notable est que 29,157 pouces, la diagonale de la coudée de 20,62 pouces, est la longueur qui oscillerait 100 000 fois en 24 heures, exactement vrai à la latitude de Memphis. Ceci est si remarquable qu'il suggère qu'il peut avoir été dérivé de cette longueur observée, et la source entièrement oubliée après l'âge scientifique des constructeurs de pyramides.
Dans le cas du trio d'unités égyptien, fil à plomb, coudée royale, remen, il semble que la mesure dont dérivent les autres ne soit pas la plus petite, mais la plus grande. Cela irait à l'encontre de l'idée d'un carré doublé de taille et produisant une série de carrés plus grands. en effet, la plus grande mesure correspond à une mesure de temps à une latitude précise, en l'occurrence la latitude de Memphis. Les deux autres unités sont le résultat de la production de carrés progressivement plus petits. La plupart du temps, le rod est assimilé au pôle ou à la perche, et était à l'origine composée de 15 des anciens pieds nord ou saxons, de 13,2 "ou 13,125", 0.33528 ou 0.33333 m. En effet, 15 x 13,2 = 198. Il y a 4 800 pieds saxons ou nordiques dans un mile. Le rod anglais est une unité de 5 metres.
L'article de Peter Simple fait allusion à une connexion égyptienne. "Le rod est dérivé du qanu pharaonique de 11²/³ pieds égyptiens." L'auteur donne au rod 11²/³ pieds anglais, soit 140 pouces ou 3.556 m. Pour Peter Simple, les pieds anglais sont clairement liés, voire assimilés, aux pieds égyptiens. Il poursuit en écrivant : "D'où est venu aussi le "reed" de mesure, décrit par Ezéchiel, de 6 grandes coudées."
L'auteur ne donne pas de longueur pour le reed, mais en supposant qu'il est proche de 140 pouces, divisé par 6 donnerait 23,3333" pour la grande coudée d'Ezéchiel. 140" / 6 = 23,3333". Multiplié par 6/7 pour donner le coudée régulière, puis par 3/5 pour obtenir le pied, nous ramène à 12 pouces, ou un pied anglais. Le reed correspond à 11²/³ de pieds israélites, tout comme le rod à 11²/³ de pieds anglais.
En partant d'une longueur de 140 pouces, et en utilisant la même logique, 140 pouces / 6 = 23,3333 pouces. Multiplié par 6/7, cela donne 20 pouces. Multiplié par 3/5, cela donne 12 pouces, qui est un pied anglais. Donc, ce rapport de 11,66666 pour le pied et le qanu, ou les pieds israélites et le roseau, est en fait simplement 5/3 x 7, ou 70/6, ce qui suggère la relation entre une coudée régulière et une coudée royale, qui ont 6 et 7 paumes respectivement. Ainsi, 10 pieds anglais multipliés par 7/6 font 140 pouces, ce qui est le rod de Simple, et 20 pieds anglais multipliés par 7/6 font 280 pouces, la perche de Simple.
Alors pourquoi tous ces carrés ? Il s'agit bien sûr de la mesure des terres.
Dans un article de 1955, Berriman écrit :
La métrologie linéaire ancienne tire sa signification pratique principale de l'association particulière de certaines unités avec la mesure du sol : par exemple, la setat égyptienne était une superficie terrestre égale au carré sur 100 coudées royales et le carré sur cette coudée a été découvert par Petrie et Griffith comme étant deux fois la surface du carré sur une unité à 20 chiffres appelée remen. Géométriquement, donc, la coudée royale peut être représentée par la diagonale du remen carré ; mathématiquement, sa note est de 20√2 chiffres et les preuves suggèrent que cela peut être interprété comme 20 + (5/8) pouces anglais sur l'hypothèse que √2 chiffre a un équivalent rationnel en 1 + (1/32) pouce.
Ainsi notée, la coudée royale est en rapport de longueur (25/24) avec la coudée sumérienne de 30 shusi, ce sushi de 0,66 pouce étant la longueur moyenne de division sur l'échelle linéaire de la statue de Gudea au Louvre. Jusqu'à présent, il a échappé à l'attention que cette coudée sumérienne de 19,8 pouces mesure (1/10) le pôle anglais ; de même, le pied sumérien de 20 shusi (= 13,2 pouces) est un prototype du pied médiéval que Petrie a signalé (sur la base de ses mesures de monuments antiques) comme étant "l'unité anglaise la plus habituelle" mais il ne l'a pas reconnue comme (1/15) pôle. Dans la métrologie anglaise, le pôle est associé à la mesure du terrain à travers la cote de 160 pôles carrés de l'acre, mais il avait une association plus simple avec le jugerum romain qui mesurait 100 m² anglais, pôles = 1 myriade de coudées sumériennes. Le jugerum peut donc être représenté géométriquement comme le carré sur 10 pôles anglais = 100 coudées sumériennes.
Ainsi, la setat est une aire égale au carré de 100 coudées royales, qui aurait une longueur diagonale de 100 x 29,16964 pouces, en utilisant 20,625 et 99/70. C'est exactement 40 chiffres de 0,729166667 pouces ou 0.01852 m, ou 2 remen de 14,5833333 pouces, ou 0,370416667 m.
Le doigt : √2, Phi² et le mètre
Berriman parle d'une unité hypothétique de √2 doigts ou 1¹/³² pouce, qui multipliée par 20 donnerait la coudée royale égyptienne (de 20,625 pouces, 0.523875 m), par 32 donne l'unité de 33", et par 16 et 12 donne 198 pouces, 5.0292 m, le pôle. Et comme le mètre est lié à la coudée royale égyptienne par Phi au carré, 100 de ces doigts de 1¹/³² pouces multiplié par 55/21 pour 1/Phi² donnent un mètre.. Et 4 de ces unités de 1¹/ ³² pouces multipliés par 144/55 pour Phi au carré donnent 10,8 pouces. Nous pouvons conclure que si une coudée royale égyptienne est à la fois 20 √2 doigts et 0,2 mètre Phi², et si le doigt fait bien une 54e partie de mètre, alors la relation entre le mètre et la coudée royale égyptienne est importante.
Il y a un lien entre les approximations 99/70 pour la racine carrée de deux et 55/21 pour Phi au carré, parce que 21/55 x 99/70 x 100 = 54, le nombre doigts dans un mètre. Et ce doigt multiplié par la racine carrée de 2 et 20 donne la coudée royale égyptienne. C'est pourquoi une coudée royale égyptienne est à la fois 0,2 mètre carré Phi et 20/54 x la racine carrée de 2 mètres. Je pense que cela montre que le mètre est une meilleure unité de base pour la coudée royale égyptienne que le pouce ou le pied anglais. Comme les rapports entre le pouce et le mètre ont beaucoup varié au cours des deux derniers siècles, bien que très légèrement, je pense qu'il serait plus précis de considérer le doigt comme une unité en mètres plutôt qu'en pouces, en particulier comme 55 /21 x 70/99 x 1/100 mètres, puis décider d'une relation à convertir en pouces, que ce soit 39,375, 39,6, 39,3700787402 pouces ou autre.
Ceci est encore renforcé par le fait que la coudée royale égyptienne équivaut à pi - Phi² mètres.
Cependant, Berriman relie clairement les unités anglaises, romaines et sumériennes, et relie en particulier le pôle de 198 pouces à la coudée sumérienne. La coudée sumérienne de 19,8 pouces est la coudée royale égyptienne de 20,625 pouces x 24/25. Nous avons vu qu'un rapport de 11,66666 pour le pied et le qanu, ou les pieds israélites et le roseau, qui est en fait 70/6, et cela peut être utilisé à nouveau pour décrire la relation entre le pied anglais et la coudée royale égyptienne :
20,625 x 24/25 x 70/99 x 6/7 = 12
Un pied anglais est la coudée sumérienne de 24/25 coudée égyptienne, divisée par la racine carrée de 2, ou l'approximation 99/70, divisée par 7 et multipliée par 6. En mètres, cela peut être écrit comme 20/54 x 24 /25 x 6/7, ou simplement comme 20 chiffres x 24/25 x 6/7.
Soit 1 pied romain x 6/7 x pi /Phi², soit 1 pied romain x 6/7 x 6/5.
Des Cercles
L'aspect peut-être le plus surprenant de cet article est que les trois mesures principales, le rod, le pôle et la perche, sont présentées comme différentes les unes des autres. Habituellement, ils sont appelés équivalents. Dans son article de 1911 pour l'Encyclopaedia Britannica, Flinders Petrie assimile les trois. Peter Simple suppose une sorte de confusion historique quant à la raison pour laquelle ces trois unités signifient la même chose. Ainsi, la plupart du temps, le rod est assimilé à la perche ou au pôle, et on pense qu'il était à l'origine composé de 15 des anciens pieds nord ou saxons, de 13,2 pouces ou 13,125 pouces, ou 1/3 m. En effet, 15 x 13,2 = 198. Il y a 4 800 pieds saxons ou nordiques dans un mile.
Comme unité de mesure de surface, la perche équivaut à 1/40e d'acre. Un acre est défini comme 43 560 pieds carrés. Un quarantième d'acre fait donc 1 089 pieds carrés. C'est l'aire d'un carré dont les côtés mesurent 33 pieds, ou 396 pouces, ou 540 x 0.018626667 m, ou 2x198 pouces. Donc cela semble bien suggérer que la perche, ou du moins l'unité formant le côté d'un carré, dont quarante font un acre, est de 2 x 198 pouces. Peter Simple nomme une unité de 198 pouces la perche. Cependant, il n'assimile pas une perche à 396 pouces, mais à 280 pouces. Ces deux dernières mesures sont bien sûr également reliées par la racine carrée de deux.
Un autre lien possible est entre l'unité de 198", le pôle de Simple, et le mètre, car deux pôles sont de 396 pouces, ce qui est proche de dix mètres. (Deux perches sont 540 unités de 0,0186266667).
Dans l'ensemble, l'article de Peter Simple est un énigme. D'où tire-t-il les rapports entre le rod, le pole et la perche, et pourquoi Flinders Petrie ne les distingue-t-il pas dans son article d'encyclopédie ?
Flinders Petrie mentionne cependant une perche différente de la rod dans un contexte historique :
La leuga gauloise, ou ligue, est une unité différente, étant de 1,59 milles britanniques par l'itinéraire très concordant du pèlerin de Bordeaux. Cela semble être la grande mesure celtique, par opposition à l'ancien mile anglais ou germanique. Dans le nord-ouest de l'Angleterre et au Pays de Galles, ce mille a duré 1,56 mille britannique jusqu'en 1500; et la perche de ces parties était proportionnellement plus longue jusqu'à ce siècle (31). Le "vieux mile de Londres" était de 5000 pieds, et c'était probablement le mile qui a été modifié à 5280 pieds, ou 8 stades, et est ainsi devenu le mille terrestre britannique.
Flinders Petrie fait également référence à la perche française, qu'il donne comme 22 pieds de roi carrés, et il donne un pied de roi de 0,3248 mètre (et utilise un taux de conversion basé sur un mètre de 39,3700113 pouces).
Cela donne une perche française de (22 x 0,3248) ² = 51,059599 m², ou 79 142,266 pouces carrés. Et ici, nous comprenons pourquoi Peter Simple a peut-être attribué 280 pouces à la perche anglaise, comme la perche française, selon ces chiffres donnés par Flinders Petrie, est de 281,322 pouces. Peter Simple donne a la perche anglaise 280 pouces. L'utilisation du nombre 22, qui est le nombre de pieds de roi dans une perche française, suggère une approximation de pi, et un cercle. En effet, 22 les pieds de roi divisés par 7 donnent 40,1889 pouces, et bien sûr 280 pouces, la valeur préférée de Peter Simple pour la perche, est de 40 x 7 pouces, et aussi 20 pieds x 7/6. Cela suggère qu'une unité de 280 pouces est la circonférence d'un cercle d'un diamètre de 89,0909 pouces, en utilisant 22/7 pour pi.
La valeur française de 281,322 pouces pour la perche est la circonférence d'un cercle dont le diamètre est exactement de 7 pieds de roi.
Nous sommes donc passés du carré au cercle. Cela suggérerait que si 280 pouces comme unité de longueur étaient dérivées d'une circonférence de cercle, avec un diamètre de 7 pieds de roi, alors une unité de 40 pouces serait dérivée d'un cercle d'un diamètre de 1 pied de roi. Cependant , le pied de roi tel qu'il est donné par Flinders Petrie ne correspond pas tout à fait au diamètre requis pour une circonférence de 40 pouces ; au lieu de 0,3248 m, il faudrait 0,32328 m. Cela suggère cependant une connexion possible.
Curieusement cette mesure de 0,32328 m est proche de 20 cm x Phi.
En utilisant 1,6181818 pour Phi et 22/7 pour pi, et un mètre de 39,375 pouces, 0,2 mètre x pi x Phi font 40,05 pouces.
Cette fois avec 144/55 pour Phi au carré, et un rayon de 0,2 x Phi² mètres, cela donne une circonférence de 64,8 pouces, soit 1,08 x 6. Une mesure de 198 pouces pourrait être produite de cette façon : 0,2 m, multiplié par 55/21 pour Phi au carré, puis par 22/7 pour pi, puis par 99/70 pour la racine carrée de deux, puis par 6³/100, (avec un mètre légèrement différent de 39,37099 pouces).
Sans le 99/70, les 0,2 mètres multipliés par 55/21 et 22/7, puis 6³/100 donnent 140 pouces.
20 cm multiplié par 55/21 x 22/7 x 99/70 x 39,375 x 6 x 6 / 100 donne 33,00336 pouces.
Flinders Petrie donne 33 pouces au vara péruvien. (Voir l'article de 1911)
En utilisant cette longueur de 33 pouces, et en divisant par 11,666667, qui est le nombre de pieds dans un qanu pharaonique selon Simple, on revient au carré, car 33/11,666667 est proche de 2 x 99/70. Ainsi, le nombre de pieds dans un qanu est 33/2 x 70/99.
Un pied égyptien ou romain de 11,664 pouces est également connecté, car 1 mètre x 144/55 x 22/7 x 36 x 39,375 / 1 000 = 11,664 pouces. (Ou alors, la meme chose mais avec 39.6 pouces pour le mètre et 25/8 pour pi, ou encore avec 39.3752 pour le mètre et 55/21 pour Phi au carré et 3.14181818 pour pi)
20 cm multipliés par 55/21 pour Phi au carré donnent la coudée royale égyptienne de 20,625", et si on prend 144/55 pour Phi au carré, cela donne la coudée royale égyptienne de 20,6181818".
280 pouces équivaut également à 24 pieds romains de 11,666667 pouces ou 0,29633333 m. Berriman dit que le pôle français était à l'origine de 24 pieds romains. Berriman se réfère au pôle "qui a ensuite été évalué à 22 pieds dans l'échelle linéaire française, où 6 pieds formaient la toise utilisée dans les mesures géodéciques qui formaient la base du système métrique. » Ainsi Berriman relie la mesure de 198 pouces à 24 pieds romains et 22 pieds de roi, et indirectement tout cela au mètre à 54 doigts (de 0.01852 m). L'écart entre le pied de roi de 24/22 pieds romains, donc 24 x 0.29633333 /22 = 0.323171717 m, et tel qu'il est enregistré comme 324,839 mm, est attribué à une mesure de volume : "le cube du double-pied : le muid standard réel n'était cependant que de 286 litres ce qui n'est pas tout à fait 8 fois le cube de 322,5 mm."
La mesure de 5.0292 m est aussi 96/10 coudées royales égyptiennes de 0,523875 m, il y a donc un lien direct avec le pied de roi, comme il y en a avec le pole et le rod anglais. Les 70 pouces auxquels fait allusion Peter Simple, décrits comme un "staff", "qui était probablement la mesure de l'ancien furlong " sont également mentionnés par Berriman, qui écrit:
"70 pouces = 96 doigts = (96/54) mètre = 1777,7 mm à comparer avec 1778 mm = 70 x 25,4 mm."
Bien sûr, 70/1,7777778 = 39,375, qui est l'autre valeur en pouces utilisée par Berriman pour le metre.
Berriman note que le rapport entre les pôles français et anglais est la racine carrée de deux. Ainsi, comme le suggère Peter Simple, il y a une racine carrée de deux, mais alors que Simple la trouve entre ce qu'il appelle la perche, le pole et le rod anglais, Berriman la trouve entre les pôles anglais et français.
Selon Berriman :
1 pied de roi = 324,839 mm ou 24/22 pieds romains = 323,2 mm "en termes de doigt de 1/54 m" = 39,375 pouces / 54 x 16 x 24/22 = 12,72727 pouces, ou 39,3700787402 pouces / 54 x 16 x 24/22 = 12,725682. (Ou encore avec un doigtde 0,729 pouce)
2 pieds de roi = 1 aune
3 aunes = 1 toise = 6 pieds = 72 pouces = 864 lignes = 6 x 324.839 mm = 1949.034 ou 6 x 323.2 mm = 1939.2 mm
Y-at'il une erreur ici, de la part de Berriman? pôle français = 6 aunes = 2 toises = 12 pieds = 144 pouces = 1728 lignes, ou bien le pole = 22 pieds?
1 arpent = double-jugerum = heredium = 100 pôles carrés français
Environ : Une 54e partie de mètre x 16 fait un pied romain, multiplié par 24 donne 280 pouces (perche anglaise selon Simple) soit 7,11111 m , divisé par √2 donne 198 pouces (pole anglais selon Simple) soit 5,028 M.
Bibliographie
Alison, Jim, Earth Measures,C:\art\R28.wpd (hiwaay.net)
BERRIMAN, A. E. “A NEW APPROACH TO THE STUDY OF ANCIENT METROLOGY.” Revue d’Assyriologie et d’archéologie Orientale, vol. 49, no. 4, 1955, pp. 193–201. JSTOR, http://www.jstor.org/stable/23295603. Accessed 8 Jan. 2023.
Flinders Petrie, Matthew, 1911, "Weights and Measures", Encyclopaedia Britannica, Weights and Measures - LoveToKnow 1911 (archive.org)
Simple, Peter. “Rod, Pole and Perch.” The Mathematical Gazette, vol. 37, no. 320, 1953, pp. 102–03. JSTOR, https://doi.org/10.2307/3608933. Accessed 18 Jul. 2022.